次の不定積分を求めます。 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+4x+5}} dx$ その答えは $\log|(ア) + \sqrt{イ}| + C$ の形式で与えられます。 アとイを埋める選択肢は以下の通りです。 1. $x+2$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+4x+5}} dx$

その答えは $\log|(ア) + \sqrt{イ}| + C$ の形式で与えられます。

アとイを埋める選択肢は以下の通りです。

1. $x+2$

2. $2x+4$

3. $x^2+4x+5$

2. 解き方の手順

まず、積分の中の $x^2+4x+5$ を平方完成します。

$x^2+4x+5 = (x^2+4x+4) + 1 = (x+2)^2 + 1$

したがって、与えられた積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{\sqrt{(x+2)^2+1}}dx$

ここで、$x+2 = \sinh(u)$ と置換します。すると、$dx = \cosh(u) du$ となります。

この置換を行うと、積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{\sqrt{\sinh^2(u) + 1}} \cosh(u) du = \int \frac{\cosh(u)}{\sqrt{\cosh^2(u)}} du = \int \frac{\cosh(u)}{\cosh(u)} du = \int 1 du = u + C$

したがって、$u = \sinh^{-1}(x+2)$となります。

$\sinh^{-1}(x) = \log(x + \sqrt{x^2+1})$であるため、

$\sinh^{-1}(x+2) = \log((x+2) + \sqrt{(x+2)^2 + 1}) = \log(x+2 + \sqrt{x^2+4x+5})$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+4x+5}} dx = \log(x+2 + \sqrt{x^2+4x+5}) + C$

したがって、アは $x+2$ であり、イは $x^2+4x+5$ です。

3. 最終的な答え

ア: $x+2$ (選択肢1)

イ: $x^2+4x+5$ (選択肢3)