## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

2つの不定積分を求める問題です。

* 1つ目の問題は $\int \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx$ を計算し、与えられた形 $\frac{\text{ア}}{\text{イ}}(x+\text{ウ})^{\text{エ}} + C$ に当てはめます。

* 2つ目の問題は $\int \frac{1}{(3x+2)^3} dx$ を計算し、与えられた形 $-\frac{\text{ア}}{\text{イ}(ウx + エ)^{\text{オ}}} + C$ に当てはめます。

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2. 解き方の手順

### 1つ目の問題： $\int \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx$

1. **置換積分**: $u = x+1$ と置換すると、$du = dx$ となります。

2. **積分**:

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} du = \int u^{-1/2} du = \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{u} + C$

3. **元に戻す**:

$2\sqrt{x+1} + C$

4. **与えられた形に合わせる**:

$\frac{2}{1}(x+1)^{1/2} + C$

したがって、ア = 2, イ = 1, ウ = 1, エ = 1/2

### 2つ目の問題： $\int \frac{1}{(3x+2)^3} dx$

1. **置換積分**: $u = 3x+2$ と置換すると、$du = 3dx$ となります。よって $dx = \frac{1}{3} du$

2. **積分**:

$\int \frac{1}{u^3} \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int u^{-3} du = \frac{1}{3} \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{6u^2} + C$

3. **元に戻す**:

$-\frac{1}{6(3x+2)^2} + C$

4. **与えられた形に合わせる**:

$-\frac{1}{6(3x+2)^{2}} + C$

したがって、ア = 1, イ = 6, ウ = 3, エ = 2, オ = 2

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3. 最終的な答え

### 1つ目の問題：

ア: 2

イ: 1

ウ: 1

エ: 1/2

### 2つ目の問題：

ア: 1

イ: 6

ウ: 3

エ: 2

オ: 2