3つの問題があります。 (1) $z = e^u \sin v$, $u = xy$, $v = x+y$のとき、$(x, y) = (0, \frac{\pi}{6})$における$\frac{\partial z}{\partial x}$と$\frac{\partial z}{\partial y}$を求めよ。 (2) $z = uv + \sin t$, $u = e^t$, $v = \cos t$のとき、$t = 0$における$\frac{dz}{dt}$を求めよ。 (3) $f(x, y) = \sin x + \sqrt{3} \cos y - \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 0$について、$(x, y) = (\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$における$\frac{dy}{dx}$を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

3つの問題があります。

(1) $z = e^u \sin v$, $u = xy$, $v = x+y$のとき、$(x, y) = (0, \frac{\pi}{6})$における$\frac{\partial z}{\partial x}$と$\frac{\partial z}{\partial y}$を求めよ。

(2) $z = uv + \sin t$, $u = e^t$, $v = \cos t$のとき、$t = 0$における$\frac{dz}{dt}$を求めよ。

(3) $f(x, y) = \sin x + \sqrt{3} \cos y - \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 0$について、$(x, y) = (\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$における$\frac{dy}{dx}$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{\partial z}{\partial x}$と$\frac{\partial z}{\partial y}$をそれぞれ連鎖律を用いて計算し、$(x, y) = (0, \frac{\pi}{6})$を代入する。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} = e^u \sin v \cdot y + e^u \cos v \cdot 1$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y} = e^u \sin v \cdot x + e^u \cos v \cdot 1$

$(x, y) = (0, \frac{\pi}{6})$を代入すると、$u = 0, v = \frac{\pi}{6}$なので、

$\frac{\partial z}{\partial x} = e^0 \sin \frac{\pi}{6} \cdot \frac{\pi}{6} + e^0 \cos \frac{\pi}{6} \cdot 1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = e^0 \sin \frac{\pi}{6} \cdot 0 + e^0 \cos \frac{\pi}{6} \cdot 1 = 0 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\frac{dz}{dt}$を連鎖律を用いて計算し、$t = 0$を代入する。

$\frac{dz}{dt} = \frac{dz}{du} \frac{du}{dt} + \frac{dz}{dv} \frac{dv}{dt} + \frac{d}{dt}(\sin t) = v \cdot e^t + u \cdot (-\sin t) + \cos t = \cos t \cdot e^t + e^t \cdot (-\sin t) + \cos t$

$t = 0$を代入すると、$u = e^0 = 1, v = \cos 0 = 1$なので、

$\frac{dz}{dt} = \cos 0 \cdot e^0 + e^0 \cdot (-\sin 0) + \cos 0 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 = 2$

(3) 陰関数の微分を用いる。$f(x, y) = 0$のとき、$\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}$

$\frac{\partial f}{\partial x} = \cos x$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -\sqrt{3} \sin y$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{\cos x}{-\sqrt{3} \sin y} = \frac{\cos x}{\sqrt{3} \sin y}$

$(x, y) = (\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos \frac{3\pi}{4}}{\sqrt{3} \sin \frac{\pi}{4}} = \frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\partial z}{\partial x}|_{(0, \frac{\pi}{6})} = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{\partial z}{\partial y}|_{(0, \frac{\pi}{6})} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\frac{dz}{dt}|_{t=0} = 2$

(3) $\frac{dy}{dx}|_{(\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4})} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$