$\frac{d}{dx} (\int_{x}^{2x} \cos^2 t \, dt)$ を計算し、(ア) $\cos^2 2x$ + (イ) $\cos^2 x$ の形式で答える問題です。

1. 問題の内容

$\frac{d}{dx} (\int_{x}^{2x} \cos^2 t \, dt)$ を計算し、(ア) $\cos^2 2x$ + (イ) $\cos^2 x$ の形式で答える問題です。

2. 解き方の手順

まず、微積分学の基本定理を用いて、積分を微分します。

$\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) \, dt = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)$ の公式を利用します。

この問題では、$f(t) = \cos^2 t$, $a(x) = x$, $b(x) = 2x$ なので、

$a'(x) = 1$, $b'(x) = 2$ となります。

したがって、

$\frac{d}{dx} (\int_{x}^{2x} \cos^2 t \, dt) = \cos^2(2x) \cdot 2 - \cos^2(x) \cdot 1$

$= 2 \cos^2(2x) - \cos^2(x)$

したがって、(ア) は 2 であり、(イ) は -1 である。

3. 最終的な答え

(ア) 2

(イ) -1