数列 $1 + \frac{1}{2}, 3 + \frac{1}{4}, 5 + \frac{1}{8}, 7 + \frac{1}{16}, \dots$ の第 $n$ 項までの和を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $1 + \frac{1}{2}, 3 + \frac{1}{4}, 5 + \frac{1}{8}, 7 + \frac{1}{16}, \dots$ の第 $n$ 項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた数列の一般項を $a_n$ とする。

$a_n$ は、奇数の数列 $1, 3, 5, 7, \dots$ と、分数の数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \dots$ の和で表される。

奇数の数列の一般項は $2n - 1$ である。

分数の数列の一般項は $\frac{1}{2^n}$ である。

したがって、$a_n = (2n - 1) + \frac{1}{2^n}$ となる。

求める和を $S_n$ とすると、

$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n \left( (2k - 1) + \frac{1}{2^k} \right) = \sum_{k=1}^n (2k - 1) + \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k}$

$\sum_{k=1}^n (2k - 1) = 2 \sum_{k=1}^n k - \sum_{k=1}^n 1 = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n = n(n+1) - n = n^2$

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k}$ は、初項 $\frac{1}{2}$、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列の和であるから、

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} = \frac{\frac{1}{2} (1 - (\frac{1}{2})^n)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2^n})}{\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2^n}$

したがって、$S_n = n^2 + 1 - \frac{1}{2^n}$

3. 最終的な答え

$S_n = n^2 + 1 - \frac{1}{2^n}$