与えられた極限値をマクローリン展開を用いて示す問題です。 a) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$ b) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ c) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

1. 問題の内容

与えられた極限値をマクローリン展開を用いて示す問題です。

a) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$

b) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

c) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

2. 解き方の手順

a) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$ を示す。

$\log(1+x)$ のマクローリン展開は次のようになります。

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$

よって、

$\frac{\log(1+x)}{x} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{4} + \cdots$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} (1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{4} + \cdots) = 1$

b) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ を示す。

$e^x$ のマクローリン展開は次のようになります。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

よって、

$e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

したがって、

$\frac{e^x - 1}{x} = 1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{3!} + \cdots$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} (1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{3!} + \cdots) = 1$

c) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を示す。

$\sin x$ のマクローリン展開は次のようになります。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$

よって、

$\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} (1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots) = 1$

3. 最終的な答え

a) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$

b) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

c) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$