与えられた関数 $y = (x^2 + 3)(2x - 1)^3$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

解析学導関数微分積の微分法則合成関数の微分法則連鎖律
2025/7/4

1. 問題の内容

与えられた関数 y=(x2+3)(2x1)3y = (x^2 + 3)(2x - 1)^3 の導関数 yy' を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分法則と合成関数の微分法則(連鎖律)を用います。
積の微分法則は、関数 u(x)u(x)v(x)v(x) に対して、
(uv)=uv+uv(uv)' = u'v + uv'
です。
また、合成関数の微分法則は、関数 f(g(x))f(g(x)) に対して、
(f(g(x)))=f(g(x))g(x)(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)
です。
まず、u(x)=x2+3u(x) = x^2 + 3v(x)=(2x1)3v(x) = (2x - 1)^3 とおきます。
u(x)=2xu'(x) = 2x
v(x)v'(x) は、さらに合成関数の微分法則を用いて計算します。
g(x)=2x1g(x) = 2x - 1 とおくと、v(x)=g(x)3v(x) = g(x)^3 です。
したがって、
v(x)=3g(x)2g(x)=3(2x1)22=6(2x1)2v'(x) = 3g(x)^2 \cdot g'(x) = 3(2x - 1)^2 \cdot 2 = 6(2x - 1)^2
よって、
y=uv+uv=2x(2x1)3+(x2+3)6(2x1)2y' = u'v + uv' = 2x(2x - 1)^3 + (x^2 + 3) \cdot 6(2x - 1)^2
=2x(2x1)3+6(x2+3)(2x1)2= 2x(2x - 1)^3 + 6(x^2 + 3)(2x - 1)^2
共通因数 2(2x1)22(2x-1)^2 でくくると、
y=2(2x1)2[x(2x1)+3(x2+3)]y' = 2(2x - 1)^2 [x(2x - 1) + 3(x^2 + 3)]
=2(2x1)2[2x2x+3x2+9]= 2(2x - 1)^2 [2x^2 - x + 3x^2 + 9]
=2(2x1)2(5x2x+9)= 2(2x - 1)^2 (5x^2 - x + 9)

3. 最終的な答え

y=2(2x1)2(5x2x+9)y' = 2(2x - 1)^2 (5x^2 - x + 9)

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