与えられた関数 $y = (x^2 + 3)(2x - 1)^3$ の導関数 $y'$ を求める問題です。解析学導関数微分積の微分法則合成関数の微分法則連鎖律2025/7/41. 問題の内容与えられた関数 y=(x2+3)(2x−1)3y = (x^2 + 3)(2x - 1)^3y=(x2+3)(2x−1)3 の導関数 y′y'y′ を求める問題です。2. 解き方の手順積の微分法則と合成関数の微分法則(連鎖律)を用います。積の微分法則は、関数 u(x)u(x)u(x) と v(x)v(x)v(x) に対して、(uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'(uv)′=u′v+uv′です。また、合成関数の微分法則は、関数 f(g(x))f(g(x))f(g(x)) に対して、(f(g(x)))′=f′(g(x))g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)(f(g(x)))′=f′(g(x))g′(x)です。まず、u(x)=x2+3u(x) = x^2 + 3u(x)=x2+3 と v(x)=(2x−1)3v(x) = (2x - 1)^3v(x)=(2x−1)3 とおきます。u′(x)=2xu'(x) = 2xu′(x)=2xv′(x)v'(x)v′(x) は、さらに合成関数の微分法則を用いて計算します。g(x)=2x−1g(x) = 2x - 1g(x)=2x−1 とおくと、v(x)=g(x)3v(x) = g(x)^3v(x)=g(x)3 です。したがって、v′(x)=3g(x)2⋅g′(x)=3(2x−1)2⋅2=6(2x−1)2v'(x) = 3g(x)^2 \cdot g'(x) = 3(2x - 1)^2 \cdot 2 = 6(2x - 1)^2v′(x)=3g(x)2⋅g′(x)=3(2x−1)2⋅2=6(2x−1)2よって、y′=u′v+uv′=2x(2x−1)3+(x2+3)⋅6(2x−1)2y' = u'v + uv' = 2x(2x - 1)^3 + (x^2 + 3) \cdot 6(2x - 1)^2y′=u′v+uv′=2x(2x−1)3+(x2+3)⋅6(2x−1)2=2x(2x−1)3+6(x2+3)(2x−1)2= 2x(2x - 1)^3 + 6(x^2 + 3)(2x - 1)^2=2x(2x−1)3+6(x2+3)(2x−1)2共通因数 2(2x−1)22(2x-1)^22(2x−1)2 でくくると、y′=2(2x−1)2[x(2x−1)+3(x2+3)]y' = 2(2x - 1)^2 [x(2x - 1) + 3(x^2 + 3)]y′=2(2x−1)2[x(2x−1)+3(x2+3)]=2(2x−1)2[2x2−x+3x2+9]= 2(2x - 1)^2 [2x^2 - x + 3x^2 + 9]=2(2x−1)2[2x2−x+3x2+9]=2(2x−1)2(5x2−x+9)= 2(2x - 1)^2 (5x^2 - x + 9)=2(2x−1)2(5x2−x+9)3. 最終的な答えy′=2(2x−1)2(5x2−x+9)y' = 2(2x - 1)^2 (5x^2 - x + 9)y′=2(2x−1)2(5x2−x+9)