関数 $y = 2x^2 + x - 1$ の導関数 $y'$ を導関数の定義に従って求める。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 + x - 1$ の導関数 $y'$ を導関数の定義に従って求める。

2. 解き方の手順

導関数の定義は次の通りです。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

この定義に従って、$y = 2x^2 + x - 1$ の導関数を求めます。

まず、$y(x+h)$ を計算します。

$y(x+h) = 2(x+h)^2 + (x+h) - 1 = 2(x^2 + 2xh + h^2) + x + h - 1 = 2x^2 + 4xh + 2h^2 + x + h - 1$

次に、$y(x+h) - y(x)$ を計算します。

$y(x+h) - y(x) = (2x^2 + 4xh + 2h^2 + x + h - 1) - (2x^2 + x - 1) = 4xh + 2h^2 + h$

次に、$\frac{y(x+h) - y(x)}{h}$ を計算します。

$\frac{y(x+h) - y(x)}{h} = \frac{4xh + 2h^2 + h}{h} = 4x + 2h + 1$

最後に、$\lim_{h \to 0} \frac{y(x+h) - y(x)}{h}$ を計算します。

$\lim_{h \to 0} (4x + 2h + 1) = 4x + 2(0) + 1 = 4x + 1$

したがって、$y' = 4x + 1$ です。

3. 最終的な答え

$y' = 4x + 1$