与えられた関数 $y = \sqrt[4]{(1-2x)^3}$ を微分して、$dy/dx$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \sqrt[4]{(1-2x)^3}$ を微分して、$dy/dx$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を指数関数で書き換えます。

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y = (1-2x)^{\frac{3}{4}}

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次に、合成関数の微分を行います。つまり、 $y=u^{\frac{3}{4}}$ で $u=1-2x$ とおくと、

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\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

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まず、$\frac{dy}{du}$ を計算します。

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\frac{dy}{du} = \frac{3}{4}u^{\frac{3}{4}-1} = \frac{3}{4}u^{-\frac{1}{4}} = \frac{3}{4}(1-2x)^{-\frac{1}{4}}

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次に、$\frac{du}{dx}$ を計算します。

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\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(1-2x) = -2

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したがって、$\frac{dy}{dx}$ は次のようになります。

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\frac{dy}{dx} = \frac{3}{4}(1-2x)^{-\frac{1}{4}} \cdot (-2) = -\frac{3}{2}(1-2x)^{-\frac{1}{4}}

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これを根号の形で表すと、

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\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2\sqrt[4]{1-2x}}

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3. 最終的な答え

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\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2\sqrt[4]{1-2x}}

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