与えられた問題は4つの小問から構成されています。 (1) $z = f(ax + by)$ (a, b は定数)のとき、$b \frac{\partial z}{\partial x} = a \frac{\partial z}{\partial y}$ を証明する。 (2) $u = e^{x^2 + y^2 + z^2}$, $z = x^2 \sin y$ のとき、$\frac{\partial u}{\partial x}$ と $\frac{\partial u}{\partial y}$ を x, y で表す。 (3) $z = uv + \sin t$, $u = e^t$, $v = \cos t$ のとき、$\frac{dz}{dt}$ を t で表す。 (4) 関数 $f(x, y) = x^2 + y^2 = 1$ で定まる陰関数の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた問題は4つの小問から構成されています。

(1) $z = f(ax + by)$ (a, b は定数)のとき、$b \frac{\partial z}{\partial x} = a \frac{\partial z}{\partial y}$ を証明する。

(2) $u = e^{x^2 + y^2 + z^2}$, $z = x^2 \sin y$ のとき、$\frac{\partial u}{\partial x}$ と $\frac{\partial u}{\partial y}$ を x, y で表す。

(3) $z = uv + \sin t$, $u = e^t$, $v = \cos t$ のとき、$\frac{dz}{dt}$ を t で表す。

(4) 関数 $f(x, y) = x^2 + y^2 = 1$ で定まる陰関数の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$z = f(ax + by)$ とおく。

$s = ax + by$ とおくと、$z = f(s)$ となる。

連鎖律より、

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{df}{ds} \frac{\partial s}{\partial x} = \frac{df}{ds} a$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{df}{ds} \frac{\partial s}{\partial y} = \frac{df}{ds} b$

したがって、

$b \frac{\partial z}{\partial x} = b (\frac{df}{ds} a) = ab \frac{df}{ds}$

$a \frac{\partial z}{\partial y} = a (\frac{df}{ds} b) = ab \frac{df}{ds}$

よって、$b \frac{\partial z}{\partial x} = a \frac{\partial z}{\partial y}$ が成り立つ。

(2)

$u = e^{x^2 + y^2 + z^2}$, $z = x^2 \sin y$

$\frac{\partial u}{\partial x} = e^{x^2 + y^2 + z^2} \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + y^2 + z^2) = e^{x^2 + y^2 + z^2} (2x + 2z \frac{\partial z}{\partial x})$

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x \sin y$ なので、

$\frac{\partial u}{\partial x} = e^{x^2 + y^2 + (x^2 \sin y)^2} (2x + 2 x^2 \sin y (2x \sin y)) = 2x e^{x^2 + y^2 + x^4 \sin^2 y} (1 + 2 x^2 \sin^2 y)$

$\frac{\partial u}{\partial y} = e^{x^2 + y^2 + z^2} \frac{\partial}{\partial y} (x^2 + y^2 + z^2) = e^{x^2 + y^2 + z^2} (2y + 2z \frac{\partial z}{\partial y})$

$\frac{\partial z}{\partial y} = x^2 \cos y$ なので、

$\frac{\partial u}{\partial y} = e^{x^2 + y^2 + (x^2 \sin y)^2} (2y + 2 x^2 \sin y (x^2 \cos y)) = 2 e^{x^2 + y^2 + x^4 \sin^2 y} (y + x^4 \sin y \cos y)$

(3)

$z = uv + \sin t$, $u = e^t$, $v = \cos t$

$\frac{dz}{dt} = \frac{du}{dt} v + u \frac{dv}{dt} + \cos t$

$\frac{du}{dt} = e^t$, $\frac{dv}{dt} = -\sin t$ なので、

$\frac{dz}{dt} = e^t \cos t + e^t (-\sin t) + \cos t = e^t (\cos t - \sin t) + \cos t$

(4)

$x^2 + y^2 = 1$

両辺を x で微分すると、

$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}$

3. 最終的な答え

(1) $b \frac{\partial z}{\partial x} = a \frac{\partial z}{\partial y}$

(2) $\frac{\partial u}{\partial x} = 2x e^{x^2 + y^2 + x^4 \sin^2 y} (1 + 2 x^2 \sin^2 y)$

$\frac{\partial u}{\partial y} = 2 e^{x^2 + y^2 + x^4 \sin^2 y} (y + x^4 \sin y \cos y)$

(3) $\frac{dz}{dt} = e^t (\cos t - \sin t) + \cos t$

(4) $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$