関数 $y = x^3 + 3x^2 + 6x - 3$ の導関数 $y'$ を導関数の定義に従って求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 + 3x^2 + 6x - 3$ の導関数 $y'$ を導関数の定義に従って求める問題です。

2. 解き方の手順

導関数の定義は次の通りです。

$y' = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

今回の問題では、$f(x) = x^3 + 3x^2 + 6x - 3$ です。

まず、$f(x+h)$ を計算します。

$f(x+h) = (x+h)^3 + 3(x+h)^2 + 6(x+h) - 3$

展開して整理します。

$f(x+h) = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 3(x^2 + 2xh + h^2) + 6x + 6h - 3$

$f(x+h) = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 3x^2 + 6xh + 3h^2 + 6x + 6h - 3$

次に、$f(x+h) - f(x)$ を計算します。

$f(x+h) - f(x) = (x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 3x^2 + 6xh + 3h^2 + 6x + 6h - 3) - (x^3 + 3x^2 + 6x - 3)$

$f(x+h) - f(x) = 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 6xh + 3h^2 + 6h$

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ を計算します。

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 6xh + 3h^2 + 6h}{h}$

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2 + 6x + 3h + 6$

最後に、$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ を計算します。

$y' = \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2 + 6x + 3h + 6)$

$y' = 3x^2 + 6x + 6$

3. 最終的な答え

$y' = 3x^2 + 6x + 6$