問題4の（1）と（2）の偏導関数を求めます。 (1) $z = x^2y + xy^2$のとき、$\frac{\partial z}{\partial x}$と$\frac{\partial z}{\partial y}$を求める。 (2) $y = \frac{1}{\sqrt{xy}}$のとき、$\frac{\partial y}{\partial x}$と$\frac{\partial y}{\partial y}$を求める。

1. 問題の内容

問題4の（1）と（2）の偏導関数を求めます。

(1) $z = x^2y + xy^2$のとき、$\frac{\partial z}{\partial x}$と$\frac{\partial z}{\partial y}$を求める。

(2) $y = \frac{1}{\sqrt{xy}}$のとき、$\frac{\partial y}{\partial x}$と$\frac{\partial y}{\partial y}$を求める。

2. 解き方の手順

(1) $z = x^2y + xy^2$

$\frac{\partial z}{\partial x}$を求める際は、$y$を定数として$x$で微分します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2y + xy^2) = 2xy + y^2$

$\frac{\partial z}{\partial y}$を求める際は、$x$を定数として$y$で微分します。

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2y + xy^2) = x^2 + 2xy$

(2) $y = \frac{1}{\sqrt{xy}} = (xy)^{-\frac{1}{2}}$

$\frac{\partial y}{\partial x}$を求める際は、$y$を定数として$x$で微分します。

$\frac{\partial y}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (xy)^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}(xy)^{-\frac{3}{2}} \cdot y = -\frac{y}{2(xy)^{\frac{3}{2}}}$

$\frac{\partial y}{\partial x} = -\frac{y}{2x^{\frac{3}{2}}y^{\frac{3}{2}}} = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}y^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{\partial y}{\partial y}$を求める際は、$x$を定数として$y$で微分します。

$\frac{\partial y}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (xy)^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}(xy)^{-\frac{3}{2}} \cdot x = -\frac{x}{2(xy)^{\frac{3}{2}}}$

$\frac{\partial y}{\partial y} = -\frac{x}{2x^{\frac{3}{2}}y^{\frac{3}{2}}} = -\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{3}{2}}}$

3. 最終的な答え

(1)

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2xy + y^2$

$\frac{\partial z}{\partial y} = x^2 + 2xy$

(2)

$\frac{\partial y}{\partial x} = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}y^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{\partial y}{\partial y} = -\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{3}{2}}}$