与えられた関数 $y = (x^2 + 3x)(2x - 1)^3$ を微分して、$dy/dx$を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = (x^2 + 3x)(2x - 1)^3$ を微分して、$dy/dx$を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分公式と合成関数の微分公式を使います。積の微分公式は、関数 $u$ と $v$ に対して、$(uv)' = u'v + uv'$ となります。合成関数の微分公式は、関数 $f(g(x))$ に対して、$(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$ となります。

まず、$u = x^2 + 3x$ と $v = (2x - 1)^3$ とおきます。

$u$ を微分すると、

$u' = \frac{d}{dx}(x^2 + 3x) = 2x + 3$

となります。

次に、$v$ を微分します。合成関数の微分公式を使うと、

$v' = \frac{d}{dx}(2x - 1)^3 = 3(2x - 1)^2 \cdot \frac{d}{dx}(2x - 1) = 3(2x - 1)^2 \cdot 2 = 6(2x - 1)^2$

となります。

積の微分公式を使うと、

$\frac{dy}{dx} = u'v + uv' = (2x + 3)(2x - 1)^3 + (x^2 + 3x) \cdot 6(2x - 1)^2$

となります。

$(2x - 1)^2$で括り出すと、

$\frac{dy}{dx} = (2x - 1)^2 [(2x + 3)(2x - 1) + 6(x^2 + 3x)]$

となります。

括弧内を展開すると、

$\frac{dy}{dx} = (2x - 1)^2 [4x^2 - 2x + 6x - 3 + 6x^2 + 18x]$

となります。

さらに整理すると、

$\frac{dy}{dx} = (2x - 1)^2 [10x^2 + 22x - 3]$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = (2x - 1)^2 (10x^2 + 22x - 3)$