以下の3つの定積分を計算します。 (1) $\int_{-7}^{0} \frac{dx}{\sqrt{x+7}}$ (2) $\int_{7}^{\infty} \frac{dx}{x^4}$ (3) $\int_{-\infty}^{0} e^{7x} dx$

1. 問題の内容

以下の3つの定積分を計算します。

(1) $\int_{-7}^{0} \frac{dx}{\sqrt{x+7}}$

(2) $\int_{7}^{\infty} \frac{dx}{x^4}$

(3) $\int_{-\infty}^{0} e^{7x} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{-7}^{0} \frac{dx}{\sqrt{x+7}}$

$u = x+7$ と置換すると、$du = dx$ となります。

$x = -7$ のとき、$u = 0$ であり、$x = 0$ のとき、$u = 7$ です。

したがって、

$\int_{-7}^{0} \frac{dx}{\sqrt{x+7}} = \int_{0}^{7} \frac{du}{\sqrt{u}} = \int_{0}^{7} u^{-1/2} du$

$= \left[ 2u^{1/2} \right]_{0}^{7} = 2\sqrt{7} - 2\sqrt{0} = 2\sqrt{7}$

(2) $\int_{7}^{\infty} \frac{dx}{x^4}$

$\int_{7}^{\infty} \frac{dx}{x^4} = \lim_{b \to \infty} \int_{7}^{b} x^{-4} dx$

$= \lim_{b \to \infty} \left[ \frac{x^{-3}}{-3} \right]_{7}^{b} = \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{3x^3} \right]_{7}^{b}$

$= \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{1}{3b^3} + \frac{1}{3(7^3)} \right) = 0 + \frac{1}{3(343)} = \frac{1}{1029}$

(3) $\int_{-\infty}^{0} e^{7x} dx$

$\int_{-\infty}^{0} e^{7x} dx = \lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{0} e^{7x} dx$

$= \lim_{a \to -\infty} \left[ \frac{1}{7}e^{7x} \right]_{a}^{0} = \lim_{a \to -\infty} \left( \frac{1}{7}e^{0} - \frac{1}{7}e^{7a} \right)$

$= \lim_{a \to -\infty} \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{7}e^{7a} \right) = \frac{1}{7} - 0 = \frac{1}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{7}$

(2) $\frac{1}{1029}$

(3) $\frac{1}{7}$