関数 $f(\theta) = \sin 2\theta + 2(\sin \theta + \cos \theta) - 1$ について、以下の問いに答えます。ただし、$0 \le \theta < 2\pi$ とします。 (1) $t = \sin \theta + \cos \theta$ とおくとき、$2\sin \theta \cos \theta$ を $t$ を用いて表します。 (2) $f(\theta)$ を $t$ の式で表します。 (3) $t$ のとりうる値の範囲を求めます。 (4) $f(\theta)$ の最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(\theta) = \sin 2\theta + 2(\sin \theta + \cos \theta) - 1$ について、以下の問いに答えます。ただし、$0 \le \theta < 2\pi$ とします。

(1) $t = \sin \theta + \cos \theta$ とおくとき、$2\sin \theta \cos \theta$ を $t$ を用いて表します。

(2) $f(\theta)$ を $t$ の式で表します。

(3) $t$ のとりうる値の範囲を求めます。

(4) $f(\theta)$ の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$t = \sin \theta + \cos \theta$ の両辺を2乗します。

$t^2 = (\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 + 2\sin \theta \cos \theta$

よって、

$2\sin \theta \cos \theta = t^2 - 1$

(2)

$f(\theta) = \sin 2\theta + 2(\sin \theta + \cos \theta) - 1$

$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ であるから、

$f(\theta) = 2\sin \theta \cos \theta + 2(\sin \theta + \cos \theta) - 1$

(1)より、$2\sin \theta \cos \theta = t^2 - 1$ であり、$t = \sin \theta + \cos \theta$ であるから、

$f(\theta) = (t^2 - 1) + 2t - 1 = t^2 + 2t - 2$

(3)

$t = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin (\theta + \frac{\pi}{4})$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{9\pi}{4}$

したがって、$-1 \le \sin (\theta + \frac{\pi}{4}) \le 1$

よって、$-\sqrt{2} \le \sqrt{2} \sin (\theta + \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}$

$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

(4)

$f(\theta) = t^2 + 2t - 2 = (t+1)^2 - 3$

$t$ の範囲は $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

$t = -1$ のとき、最小値 $(-1+1)^2 - 3 = -3$

$t = \sqrt{2}$ のとき、最大値 $(\sqrt{2}+1)^2 - 3 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 - 3 = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $2\sin \theta \cos \theta = t^2 - 1$

(2) $f(\theta) = t^2 + 2t - 2$

(3) $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

(4) 最大値: $2\sqrt{2}$, 最小値: $-3$