$\pi < \alpha < 2\pi$ で、$\cos \alpha = -\frac{3}{4}$ のとき、以下の値を求める。 (1) $\cos 2\alpha$ (2) $\cos \frac{\alpha}{2}$

1. 問題の内容

$\pi < \alpha < 2\pi$ で、$\cos \alpha = -\frac{3}{4}$ のとき、以下の値を求める。

(1) $\cos 2\alpha$

(2) $\cos \frac{\alpha}{2}$

2. 解き方の手順

(1) $\cos 2\alpha$ を求める。

倍角の公式 $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$ を使う。

$\cos \alpha = -\frac{3}{4}$ を代入して計算する。

$\cos 2\alpha = 2\left(-\frac{3}{4}\right)^2 - 1 = 2\left(\frac{9}{16}\right) - 1 = \frac{9}{8} - 1 = \frac{1}{8}$

(2) $\cos \frac{\alpha}{2}$ を求める。

半角の公式 $\cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2}$ を使う。

$\pi < \alpha < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \pi$ となり、$\cos \frac{\alpha}{2} < 0$ である。

$\cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \left(-\frac{3}{4}\right)}{2} = \frac{\frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{8}$

$\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1}{8}}$

$\cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1}{8}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos 2\alpha = \frac{1}{8}$

(2) $\cos \frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$