与えられた3つの定積分の値を計算します。 (1) $\int_{-7}^{0} \frac{dx}{\sqrt{x+7}}$ (2) $\int_{7}^{\infty} \frac{dx}{x^4}$ (3) $\int_{-\infty}^{0} e^{7x} dx$

1. 問題の内容

与えられた3つの定積分の値を計算します。

(1) $\int_{-7}^{0} \frac{dx}{\sqrt{x+7}}$

(2) $\int_{7}^{\infty} \frac{dx}{x^4}$

(3) $\int_{-\infty}^{0} e^{7x} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{-7}^{0} \frac{dx}{\sqrt{x+7}}$

$u = x + 7$ と置換すると、$du = dx$。積分範囲は$x = -7$のとき$u = 0$、$x = 0$のとき$u = 7$となる。したがって、

$\int_{-7}^{0} \frac{dx}{\sqrt{x+7}} = \int_{0}^{7} \frac{du}{\sqrt{u}} = \int_{0}^{7} u^{-1/2} du = [2u^{1/2}]_{0}^{7} = 2\sqrt{7} - 0 = 2\sqrt{7}$

(2) $\int_{7}^{\infty} \frac{dx}{x^4}$

$\int_{7}^{\infty} x^{-4} dx = [\frac{x^{-3}}{-3}]_{7}^{\infty} = [-\frac{1}{3x^3}]_{7}^{\infty} = \lim_{x\to\infty} (-\frac{1}{3x^3}) - (-\frac{1}{3(7^3)}) = 0 + \frac{1}{3(7^3)} = \frac{1}{3(343)} = \frac{1}{1029}$

(3) $\int_{-\infty}^{0} e^{7x} dx$

$\int_{-\infty}^{0} e^{7x} dx = [\frac{1}{7}e^{7x}]_{-\infty}^{0} = \frac{1}{7}e^{7(0)} - \lim_{x\to-\infty} \frac{1}{7}e^{7x} = \frac{1}{7}(1) - 0 = \frac{1}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{7}$

(2) $\frac{1}{1029}$

(3) $\frac{1}{7}$