$z = f(r, \theta)$ を $r, \theta$ の全微分可能な関数とし、$r = \sqrt{x^2 + y^2}$、$\theta = \arctan(\frac{y}{x})$ とする。 1. $z_x, z_y$ を $z_r, z_\theta, x, y$ を用いて表す。 $(z_x, z_y) = (z_r, z_\theta) \begin{pmatrix} ① & ② \\ ③ & ④ \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

$z = f(r, \theta)$ を $r, \theta$ の全微分可能な関数とし、$r = \sqrt{x^2 + y^2}$、$\theta = \arctan(\frac{y}{x})$ とする。

1. $z_x, z_y$ を $z_r, z_\theta, x, y$ を用いて表す。

$(z_x, z_y) = (z_r, z_\theta) \begin{pmatrix} ① & ② \\ ③ & ④ \end{pmatrix}$

2. 逆行列を用いて、$z_r, z_\theta$ を $z_x, z_y, x, y$ を用いて表す。

$(z_r, z_\theta) = (z_x, z_y) \begin{pmatrix} ⑤ & ⑥ \\ ⑦ & ⑧ \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

1. $z_x$ と $z_y$ を $z_r$ と $z_\theta$ で表す。

連鎖律より、

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial \theta} \frac{\partial \theta}{\partial x} = z_r \frac{\partial r}{\partial x} + z_\theta \frac{\partial \theta}{\partial x}$

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial \theta} \frac{\partial \theta}{\partial y} = z_r \frac{\partial r}{\partial y} + z_\theta \frac{\partial \theta}{\partial y}$

ここで、

$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

$\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

$\frac{\partial \theta}{\partial x} = \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2} \cdot (-\frac{y}{x^2}) = -\frac{y}{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial \theta}{\partial y} = \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2} \cdot (\frac{1}{x}) = \frac{x}{x^2 + y^2}$

したがって、

$z_x = z_r \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} + z_\theta (-\frac{y}{x^2 + y^2})$

$z_y = z_r \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} + z_\theta \frac{x}{x^2 + y^2}$

これを行列で表すと、

$(z_x, z_y) = (z_r, z_\theta) \begin{pmatrix} \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} & \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \\ -\frac{y}{x^2 + y^2} & \frac{x}{x^2 + y^2} \end{pmatrix}$

よって、① = 1, ② = 2, ③ = 4, ④ = 3。

2. 逆行列を求める。

$A = \begin{pmatrix} \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} & \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \\ -\frac{y}{x^2 + y^2} & \frac{x}{x^2 + y^2} \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めると、

$A^{-1} = \frac{1}{\frac{x^2}{ (x^2 + y^2)^{3/2} } + \frac{y^2}{ (x^2 + y^2)^{3/2}}} \begin{pmatrix} \frac{x}{x^2 + y^2} & -\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \frac{y}{x^2 + y^2} & \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{pmatrix}$

$A^{-1} = \frac{(x^2 + y^2)^{3/2}}{x^2 + y^2} \begin{pmatrix} \frac{x}{x^2 + y^2} & -\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \frac{y}{x^2 + y^2} & \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{pmatrix}$

$A^{-1} = \sqrt{x^2 + y^2} \begin{pmatrix} \frac{x}{x^2 + y^2} & -\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \frac{y}{x^2 + y^2} & \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{pmatrix}$

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} & -y \\ \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} & x \end{pmatrix}$

$(z_r, z_\theta) = (z_x, z_y) \begin{pmatrix} \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} & -y \\ \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} & x \end{pmatrix}$

よって、⑤ = 1, ⑥ = 6, ⑦ = 2, ⑧ = 5。

3. 最終的な答え

1. ① = 1, ② = 2, ③ = 4, ④ = 3

2. ⑤ = 1, ⑥ = 6, ⑦ = 2, ⑧ = 5