与えられた複数の選択肢の中から、正しいものを全て選ぶ問題です。ただし、関数はすべて連続であると仮定します。

1. 問題の内容

与えられた複数の選択肢の中から、正しいものを全て選ぶ問題です。ただし、関数はすべて連続であると仮定します。

2. 解き方の手順

各選択肢を順番に検討します。

(1) 「$f(x)$は閉区間$[a, b]$において常に積分可能である。」

連続関数は積分可能であるという定理より、これは正しいです。

(2) 「閉区間$[a, b]$上で、$f(x) \le g(x)$ならば、$\int_a^b |f(x)|dx \le \int_a^b |g(x)|dx$が成り立つ。」

これは一般には成り立ちません。例えば、$f(x) = -2$、$g(x) = -1$のとき、$f(x) \le g(x)$ですが、$\int_a^b |-2|dx = 2(b-a)$、$\int_a^b |-1|dx = (b-a)$となり、$2(b-a) \le (b-a)$とは限りません。

(3) 「$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (\frac{k}{n})^3 = \int_0^1 x^3 dx$が成り立つ。」

これは定積分の定義より正しいです。リーマン和の極限として定積分が定義できます。

(4) 「閉区間$[a, b]$上で、$\int_a^b f(x)dx = 0$ならば、$[a, b]$上で$f(x) = 0$である。」

これは誤りです。例えば、$f(x) = x$、$[a,b] = [-1, 1]$の場合、$\int_{-1}^1 xdx = 0$ですが、$f(x)$は$[a,b]$上で恒等的に0ではありません。

(5) 「閉区間$[a, b]$上で、$\int_a^b \{f(x)\}^2dx = 0$ならば、$[a, b]$上で$f(x) = 0$である。」

$f(x)$は連続なので、$f(x)^2$も連続です。連続な非負関数$f(x)^2$の定積分が0になるための必要十分条件は、$f(x)^2 = 0$、つまり$f(x) = 0$となることです。したがってこれは正しいです。

(6) 「$\int_a^c f(x)dx = \int_a^b f(x)dx - \int_c^b f(x)dx$が成り立つ。」

これは積分の性質より正しいです。$\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx$なので、移項すれば与えられた式になります。

3. 最終的な答え

(1), (3), (5), (6)