## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題は2つの不定積分を求めることです。

* 一つ目は、$\int (\cos{2x} + \tan{4x}) dx$ を求め、$\frac{1}{\boxed{ア}}\sin{\boxed{イ}x} - \frac{1}{\boxed{ウ}} \log{|\cos{\boxed{エ}x}|} + C$ の形で答える問題です。

* 二つ目は、$\int (a^x + b^{2x}) dx$ を求め、$\frac{a^x}{\boxed{ア}\boxed{イ}} + \frac{b^{2x}}{\boxed{ウ}\boxed{エ}\boxed{オ}} + C$ の形で答える問題です。

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2. 解き方の手順

**1つ目の不定積分 $\int (\cos{2x} + \tan{4x}) dx$**

* $\cos{2x}$ の積分:

$\int \cos{2x} dx = \frac{1}{2}\sin{2x} + C_1$

（$2x$ を微分すると $2$ なので、積分結果を $2$ で割る必要があります。）

* $\tan{4x}$ の積分:

$\int \tan{4x} dx = \int \frac{\sin{4x}}{\cos{4x}} dx$

$\cos{4x} = u$ と置換すると、 $-4\sin{4x} dx = du$ となり、$dx = -\frac{1}{4\sin{4x}} du$。

よって、

$\int \frac{\sin{4x}}{u} (-\frac{1}{4\sin{4x}}) du = -\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} du = -\frac{1}{4} \log{|u|} + C_2 = -\frac{1}{4} \log{|\cos{4x}|} + C_2$

* したがって、$\int (\cos{2x} + \tan{4x}) dx = \frac{1}{2}\sin{2x} - \frac{1}{4} \log{|\cos{4x}|} + C$

アは $2$, イは $2$, ウは $4$, エは $4$ となります。

**2つ目の不定積分 $\int (a^x + b^{2x}) dx$**

* $a^x$ の積分:

$\int a^x dx = \frac{a^x}{\log{a}} + C_1$

* $b^{2x}$ の積分:

$\int b^{2x} dx = \int (b^2)^x dx = \frac{(b^2)^x}{\log{b^2}} + C_2 = \frac{b^{2x}}{2\log{b}} + C_2$

* したがって、$\int (a^x + b^{2x}) dx = \frac{a^x}{\log{a}} + \frac{b^{2x}}{2\log{b}} + C$

アは $\log$, イは $a$, ウは $2\log$, エは $\log$, オは $b$ となります。

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3. 最終的な答え

**1つ目の問題**

* ア: 2

* イ: 2

* ウ: 4

* エ: 4

**2つ目の問題**

* ア: log

* イ: a

* ウ: 2log

* エ: log

* オ: b