定積分で定義された関数を微分する問題です。具体的には、$\frac{d}{dx} \int_{x}^{2x} \cos^2(t) dt = (\text{ア}) \cos^2(2x) + (\text{イ}) \cos^2(x)$ が成り立つような $(\text{ア})$ と $(\text{イ})$ の値を求める問題です。

## 問題1

1. 問題の内容

定積分で定義された関数を微分する問題です。具体的には、$\frac{d}{dx} \int_{x}^{2x} \cos^2(t) dt = (\text{ア}) \cos^2(2x) + (\text{イ}) \cos^2(x)$ が成り立つような $(\text{ア})$ と $(\text{イ})$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、微積分学の基本定理と合成関数の微分を利用します。

$F(x) = \int \cos^2(x) dx$ とおくと、$\frac{d}{dx} F(x) = \cos^2(x)$ が成り立ちます。

したがって、$\int_x^{2x} \cos^2(t) dt = F(2x) - F(x)$ となります。

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{d}{dx} \int_x^{2x} \cos^2(t) dt = \frac{d}{dx} (F(2x) - F(x)) = F'(2x) \cdot 2 - F'(x) = 2\cos^2(2x) - \cos^2(x)$

したがって、$2\cos^2(2x) - \cos^2(x) = (\text{ア}) \cos^2(2x) + (\text{イ}) \cos^2(x)$ と比較して、 $(\text{ア}) = 2$ かつ $(\text{イ}) = -1$ が得られます。

3. 最終的な答え

ア：2

イ：-1

## 問題2

1. 問題の内容

$\int (2x^3 + 4x + 3) dx$ を計算し、結果を $\frac{1}{\text{ア}}x^{\text{イ}} + \text{ウ}x^{\text{エ}} + \text{オ}x + C$ の形式で表す問題です。

2. 解き方の手順

項別に積分を行います。

$\int (2x^3 + 4x + 3) dx = 2 \int x^3 dx + 4 \int x dx + 3 \int dx$

$= 2 \cdot \frac{x^4}{4} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C$

$= \frac{1}{2} x^4 + 2 x^2 + 3x + C$

したがって、$\frac{1}{2} x^4 + 2 x^2 + 3x + C = \frac{1}{\text{ア}}x^{\text{イ}} + \text{ウ}x^{\text{エ}} + \text{オ}x + C$ と比較して、

ア = 2, イ = 4, ウ = 2, エ = 2, オ = 3 が得られます。

3. 最終的な答え

ア：2

イ：4

ウ：2

エ：2

オ：3