与えられた6つの積分を計算します。 (1) $\int 2x(x^2+4)^8 dx$ (2) $\int 2xe^{x^2} dx$ (3) $\int 3x^2\sqrt{x^3+2} dx$ (4) $\int \sin^2 x \cos x dx$ (5) $\int \frac{\log x}{x} dx$ (6) $\int \tan x dx$

1. 問題の内容

与えられた6つの積分を計算します。

(1) $\int 2x(x^2+4)^8 dx$

(2) $\int 2xe^{x^2} dx$

(3) $\int 3x^2\sqrt{x^3+2} dx$

(4) $\int \sin^2 x \cos x dx$

(5) $\int \frac{\log x}{x} dx$

(6) $\int \tan x dx$

2. 解き方の手順

(1) $u = x^2+4$ と置換すると、$du = 2x dx$ となります。

したがって、

$\int 2x(x^2+4)^8 dx = \int u^8 du = \frac{u^9}{9} + C = \frac{(x^2+4)^9}{9} + C$.

(2) $u = x^2$ と置換すると、$du = 2x dx$ となります。

したがって、

$\int 2xe^{x^2} dx = \int e^u du = e^u + C = e^{x^2} + C$.

(3) $u = x^3+2$ と置換すると、$du = 3x^2 dx$ となります。

したがって、

$\int 3x^2\sqrt{x^3+2} dx = \int \sqrt{u} du = \int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}(x^3+2)^{\frac{3}{2}} + C$.

(4) $u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x dx$ となります。

したがって、

$\int \sin^2 x \cos x dx = \int u^2 du = \frac{u^3}{3} + C = \frac{\sin^3 x}{3} + C$.

(5) $u = \log x$ と置換すると、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

したがって、

$\int \frac{\log x}{x} dx = \int u du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{(\log x)^2}{2} + C$.

(6) $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ と書き換えられます。

$u = \cos x$ と置換すると、$du = -\sin x dx$ となります。

したがって、

$\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx = \int -\frac{1}{u} du = -\log |u| + C = -\log |\cos x| + C = \log |\sec x| + C$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{(x^2+4)^9}{9} + C$

(2) $e^{x^2} + C$

(3) $\frac{2}{3}(x^3+2)^{\frac{3}{2}} + C$

(4) $\frac{\sin^3 x}{3} + C$

(5) $\frac{(\log x)^2}{2} + C$

(6) $\log |\sec x| + C$