与えられた2つの不定積分を計算し、空欄を埋める問題です。 一つ目の積分は $\int (\cos 2x + \tan 4x) dx$ です。 二つ目の積分は $\int (a^x + b^{2x}) dx$ です。

はい、承知しました。

1. 問題の内容

与えられた2つの不定積分を計算し、空欄を埋める問題です。

一つ目の積分は

$\int (\cos 2x + \tan 4x) dx$

です。

二つ目の積分は

$\int (a^x + b^{2x}) dx$

です。

2. 解き方の手順

**一つ目の積分**

$\int (\cos 2x + \tan 4x) dx$

$\cos 2x$ の積分は $\frac{1}{2}\sin 2x$ です。

$\tan 4x$ の積分は $-\frac{1}{4} \log |\cos 4x|$ です。

$\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx$

ここで $u = \cos x$ とすると, $du = -\sin x dx$ となるため,

$\int \tan x dx = \int \frac{-du}{u} = -\log |u| + C = -\log |\cos x| + C$

したがって、

$\int \tan 4x dx = -\frac{1}{4} \log |\cos 4x| + C$

$\int (\cos 2x + \tan 4x) dx = \frac{1}{2} \sin 2x - \frac{1}{4} \log |\cos 4x| + C$

よって、ア=2, イ=2, ウ=4, エ=4

**二つ目の積分**

$\int (a^x + b^{2x}) dx$

$a^x$ の積分は $\frac{a^x}{\log a}$ です。

$b^{2x}$ の積分は $\frac{b^{2x}}{2\log b}$ です。

$\int a^x dx = \frac{a^x}{\log a} + C$

$\int b^{2x} dx = \frac{1}{2} \int b^u du = \frac{1}{2} \frac{b^u}{\log b} + C = \frac{b^{2x}}{2\log b} + C$ (ここで $u = 2x$)

したがって、

$\int (a^x + b^{2x}) dx = \frac{a^x}{\log a} + \frac{b^{2x}}{2\log b} + C$

よって、ア=log a, イ= a, ウ=2log, エ=b, オ=b

3. 最終的な答え

一つ目の積分:

ア: 2

イ: 2

ウ: 4

エ: 4

二つ目の積分:

ア: log

イ: a

ウ: 2log

エ: b

オ: b