次の積分公式が成り立つことを示す問題です。 $$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm 1}} dx = \log|x + \sqrt{x^2 \pm 1}|$$ ここで、$t = x + \sqrt{x^2 \pm 1}$ という置換積分法を用いても良いとされています。積分定数は省略します。

1. 問題の内容

次の積分公式が成り立つことを示す問題です。

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm 1}} dx = \log|x + \sqrt{x^2 \pm 1}|$$

ここで、$t = x + \sqrt{x^2 \pm 1}$ という置換積分法を用いても良いとされています。積分定数は省略します。

2. 解き方の手順

まず、$t = x + \sqrt{x^2 \pm 1}$ と置換します。

このとき、$t-x = \sqrt{x^2 \pm 1}$ となります。

両辺を2乗すると、

$$(t-x)^2 = x^2 \pm 1$$

$$t^2 - 2tx + x^2 = x^2 \pm 1$$

$$t^2 - 2tx = \pm 1$$

これを$x$について解くと、

$$2tx = t^2 \mp 1$$

$$x = \frac{t^2 \mp 1}{2t}$$

次に、$t = x + \sqrt{x^2 \pm 1}$ を$x$で微分して$\frac{dt}{dx}$を求めます。

$$\frac{dt}{dx} = 1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2 \pm 1}} = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 \pm 1}} = \frac{\sqrt{x^2 \pm 1} + x}{\sqrt{x^2 \pm 1}} = \frac{t}{\sqrt{x^2 \pm 1}}$$

したがって、$\frac{dx}{dt} = \frac{\sqrt{x^2 \pm 1}}{t}$ となります。

ここで、$\sqrt{x^2 \pm 1} = t-x = t - \frac{t^2 \mp 1}{2t} = \frac{2t^2 - t^2 \pm 1}{2t} = \frac{t^2 \pm 1}{2t}$ です。

よって、

$$\frac{dx}{dt} = \frac{\frac{t^2 \pm 1}{2t}}{t} = \frac{t^2 \pm 1}{2t^2}$$

求める積分を置換積分すると、

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm 1}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm 1}} \frac{dx}{dt} dt = \int \frac{1}{\frac{t^2 \pm 1}{2t}} \frac{t^2 \pm 1}{2t^2} dt = \int \frac{2t}{t^2 \pm 1} \frac{t^2 \pm 1}{2t^2} dt = \int \frac{1}{t} dt = \log|t| + C$$

ここで、$t = x + \sqrt{x^2 \pm 1}$ なので、

$$\log|t| + C = \log|x + \sqrt{x^2 \pm 1}| + C$$

3. 最終的な答え

したがって、

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm 1}} dx = \log|x + \sqrt{x^2 \pm 1}|$$

となります。