関数 $f(x) = x^2 - 5$ において、$x$ の値が1から1まで変化するときの平均変化率を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 5$ において、$x$ の値が1から1まで変化するときの平均変化率を求めよ。

2. 解き方の手順

平均変化率は、ある区間における関数の変化量を、その区間の幅で割ったものです。

この場合、$x$ が $x_1$ から $x_2$ まで変化するときの $f(x)$ の平均変化率は、以下の式で表されます。

$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

問題文から、$x_1 = 1$ と $x_2 = 1$ です。したがって、

$f(x_1) = f(1) = (1)^2 - 5 = 1 - 5 = -4$

$f(x_2) = f(1) = (1)^2 - 5 = 1 - 5 = -4$

平均変化率は、

$\frac{f(1) - f(1)}{1 - 1} = \frac{-4 - (-4)}{1 - 1} = \frac{0}{0}$

$x$ が1から1まで変化するという記述は誤りであると考えられます。

これは数学のテストの問題であるため、おそらく問題作成者の入力ミスでしょう。

本来は、例えば、$x$ が 1 から 3 まで変化するときの平均変化率を求めよ、のような問題にしたかったのではないでしょうか。

もし仮に $x$ が 1 から 3 まで変化する問題だとすると、以下のようになります。

$x_1 = 1$ なので、$f(1) = 1^2 - 5 = -4$

$x_2 = 3$ なので、$f(3) = 3^2 - 5 = 9 - 5 = 4$

平均変化率は、

$\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{4 - (-4)}{3 - 1} = \frac{8}{2} = 4$

しかし、問題文には「1から1まで変化する」と明記されているため、そのまま計算すれば $\frac{0}{0}$ となり、定義できません。

3. 最終的な答え

問題文が不適切であるため、平均変化率は定義できません。

もし問題文が間違っていて、x が 1 から 3 まで変化するのであれば、平均変化率は 4 です。