関数 $f(x) = x^2 - 5x + 4$ について、$x = -1$ における微分係数 $f'(-1)$ を微分係数の定義に従って求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 5x + 4$ について、$x = -1$ における微分係数 $f'(-1)$ を微分係数の定義に従って求めよ。

2. 解き方の手順

微分係数の定義は以下の通りです。

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

この問題では、$a = -1$ なので、

$f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(-1+h) - f(-1)}{h}$

まず、$f(-1)$ を計算します。

$f(-1) = (-1)^2 - 5(-1) + 4 = 1 + 5 + 4 = 10$

次に、$f(-1+h)$ を計算します。

$f(-1+h) = (-1+h)^2 - 5(-1+h) + 4 = (1 - 2h + h^2) + 5 - 5h + 4 = h^2 - 7h + 10$

$f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{(h^2 - 7h + 10) - 10}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 - 7h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h(h - 7)}{h}$

$h \neq 0$ であるから、$h$ で約分できます。

$f'(-1) = \lim_{h \to 0} (h - 7)$

$h \to 0$ のとき、$h - 7 \to -7$ なので、

$f'(-1) = -7$

3. 最終的な答え

-7