問題は2つの関数の微分を求める問題です。 (9) $y = x\sqrt{1+x^2}$ (11) $y = \frac{x - \sqrt{x^2-1}}{x + \sqrt{x^2-1}}$

1. 問題の内容

問題は2つの関数の微分を求める問題です。

(9) $y = x\sqrt{1+x^2}$

(11) $y = \frac{x - \sqrt{x^2-1}}{x + \sqrt{x^2-1}}$

2. 解き方の手順

(9)

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x$, $v = \sqrt{1+x^2}$ とおくと、

$u' = 1$

$v' = \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \sqrt{1+x^2} + x \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \sqrt{1+x^2} + \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}$

$= \frac{1+x^2 + x^2}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{1+2x^2}{\sqrt{1+x^2}}$

(11)

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = x - \sqrt{x^2-1}$, $v = x + \sqrt{x^2-1}$ とおくと、

$u' = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x^2-1}} \cdot 2x = 1 - \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} = \frac{\sqrt{x^2-1} - x}{\sqrt{x^2-1}}$

$v' = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2-1}} \cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} = \frac{\sqrt{x^2-1} + x}{\sqrt{x^2-1}}$

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(\frac{\sqrt{x^2-1} - x}{\sqrt{x^2-1}})(x + \sqrt{x^2-1}) - (x - \sqrt{x^2-1})(\frac{\sqrt{x^2-1} + x}{\sqrt{x^2-1}})}{(x + \sqrt{x^2-1})^2}$

$= \frac{(\sqrt{x^2-1} - x)(x + \sqrt{x^2-1}) - (x - \sqrt{x^2-1})(\sqrt{x^2-1} + x)}{\sqrt{x^2-1}(x + \sqrt{x^2-1})^2}$

$= \frac{(x^2-1 - x^2) - (x^2-1 - x^2)}{\sqrt{x^2-1}(x + \sqrt{x^2-1})^2} = \frac{-2(x^2-1)-2x\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-1}(x + \sqrt{x^2-1})^2}$

$= \frac{2(-1)(x + \sqrt{x^2-1})(x - \sqrt{x^2-1}) }{ (x + \sqrt{x^2 -1})^2 \sqrt{x^2-1} } = \frac{ -2(x-\sqrt{x^2-1} }{(x+\sqrt{x^2-1})\sqrt{x^2-1} }$

$= \frac{-2}{\sqrt{x^2-1}(x+\sqrt{x^2-1})^2}$

分子を計算すると、

$(\sqrt{x^2-1} - x)(x + \sqrt{x^2-1}) - (x - \sqrt{x^2-1})(x + \sqrt{x^2-1}) = (x^2-1 - x^2) - (x^2-1 - x^2) = 2(x^2-1 - x^2)=-2$

したがって、

$y' = \frac{-2}{\sqrt{x^2-1}(x+\sqrt{x^2-1})^2}$

3. 最終的な答え

(9) $y' = \frac{1+2x^2}{\sqrt{1+x^2}}$

(11) $y' = \frac{-2}{\sqrt{x^2-1}(x+\sqrt{x^2-1})^2}$