関数 $y = \frac{x - \sqrt{x^2-1}}{x + \sqrt{x^2-1}}$ の導関数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x - \sqrt{x^2-1}}{x + \sqrt{x^2-1}}$ の導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を簡略化します。分子と分母に $x - \sqrt{x^2-1}$ を掛けます。

$$y = \frac{x - \sqrt{x^2-1}}{x + \sqrt{x^2-1}} \cdot \frac{x - \sqrt{x^2-1}}{x - \sqrt{x^2-1}} = \frac{(x - \sqrt{x^2-1})^2}{x^2 - (x^2-1)} = (x - \sqrt{x^2-1})^2$$

次に、この関数を微分します。

$$y' = 2(x - \sqrt{x^2-1}) \cdot (1 - \frac{1}{2\sqrt{x^2-1}} \cdot 2x) = 2(x - \sqrt{x^2-1})(1 - \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}) = 2(x - \sqrt{x^2-1})(\frac{\sqrt{x^2-1} - x}{\sqrt{x^2-1}})$$

$$y' = 2(x - \sqrt{x^2-1}) \cdot \frac{-(x - \sqrt{x^2-1})}{\sqrt{x^2-1}} = -2 \frac{(x - \sqrt{x^2-1})^2}{\sqrt{x^2-1}}$$

$$y' = -2 \frac{x^2 - 2x\sqrt{x^2-1} + x^2 - 1}{\sqrt{x^2-1}} = -2 \frac{2x^2 - 1 - 2x\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-1}}$$

また、$y = (x - \sqrt{x^2-1})^2$ を微分したとき、 $y = \frac{x - \sqrt{x^2-1}}{x + \sqrt{x^2-1}}$ なので、

$y' = -2\frac{y}{\sqrt{x^2 - 1}}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^2-1}}{x + \sqrt{x^2-1}}$を代入すると、

$y' = -2 \cdot \frac{x - \sqrt{x^2-1}}{(x+\sqrt{x^2-1})\sqrt{x^2-1}}$

3. 最終的な答え

$y' = -2 \cdot \frac{x - \sqrt{x^2-1}}{(x+\sqrt{x^2-1})\sqrt{x^2-1}}$

または

$y' = -2 \frac{2x^2 - 1 - 2x\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-1}}$

または

$y' = -2 \frac{(x - \sqrt{x^2-1})^2}{\sqrt{x^2-1}}$