不定積分 $\int \frac{1}{(3x+2)^3} dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{1}{(3x+2)^3} dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$u = 3x + 2$ と置換します。このとき、$du = 3dx$ より、$dx = \frac{1}{3} du$ となります。

よって、積分は以下のようになります。

$\int \frac{1}{(3x+2)^3} dx = \int \frac{1}{u^3} \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int u^{-3} du$

$u^{-3}$ の積分は $\frac{u^{-2}}{-2}$ なので、

$\frac{1}{3} \int u^{-3} du = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{6} u^{-2} + C = -\frac{1}{6(3x+2)^2} + C$

したがって、

$-\frac{1}{6(3x+2)^2} + C = -\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{(3x+2)^2} + C = -\frac{1}{6} (3x+2)^{-2} + C$

よって、求める不定積分は $-\frac{1}{6(3x+2)^2} + C$ となります。

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 6

ウ: 3

エ: 2

オ: 2