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関数 $z = xy(2x+3y)$ の2次偏導関数 $z_{xy}$ を求めます。

解析学偏微分2次偏導関数偏微分方程式
2025/7/2
はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。今回は、(1) の z=xy(2x+3y)z = xy(2x+3y) について、2次偏導関数 zxyz_{xy} を求めます。ただし、zxy=zyxz_{xy}=z_{yx} が成り立つことを利用します。

1. 問題の内容

関数 z=xy(2x+3y)z = xy(2x+3y) の2次偏導関数 zxyz_{xy} を求めます。

2. 解き方の手順

まず、zz を展開します。
z=2x2y+3xy2z = 2x^2y + 3xy^2
次に、zz を xx で偏微分します。
∂z∂x=∂∂x(2x2y+3xy2)=4xy+3y2\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2x^2y + 3xy^2) = 4xy + 3y^2
次に、∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x} を yy で偏微分します。
∂2z∂y∂x=∂∂y(4xy+3y2)=4x+6y\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}(4xy + 3y^2) = 4x + 6y
したがって、zxy=4x+6yz_{xy} = 4x + 6yとなります。

3. 最終的な答え

zxy=4x+6yz_{xy} = 4x + 6y

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