与えられた関数 $z$ に対して、2次偏導関数 $z_{xy}$ と $z_{yx}$ を求め、$z_{xy} = z_{yx}$ が成り立つことを確認する問題です。 ここでは、関数 $z = e^{xy}$ と $z = \sin^{-1}(xy)$ について、この検証を行います。

1. 問題の内容

与えられた関数 $z$ に対して、2次偏導関数 $z_{xy}$ と $z_{yx}$ を求め、$z_{xy} = z_{yx}$ が成り立つことを確認する問題です。

ここでは、関数 $z = e^{xy}$ と $z = \sin^{-1}(xy)$ について、この検証を行います。

2. 解き方の手順

(2) $z = e^{xy}$ の場合

まず、$x$ で偏微分します。

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = e^{xy} \cdot y = y e^{xy}$

次に、$z_x$ を $y$ で偏微分します。

$z_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}(y e^{xy}) = e^{xy} + y e^{xy} \cdot x = e^{xy} + xy e^{xy} = (1 + xy) e^{xy}$

次に、$z$ を $y$ で偏微分します。

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = e^{xy} \cdot x = x e^{xy}$

次に、$z_y$ を $x$ で偏微分します。

$z_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(x e^{xy}) = e^{xy} + x e^{xy} \cdot y = e^{xy} + xy e^{xy} = (1 + xy) e^{xy}$

$z_{xy} = (1 + xy) e^{xy}$

$z_{yx} = (1 + xy) e^{xy}$

よって、$z_{xy} = z_{yx}$ が成り立ちます。

(5) $z = \sin^{-1}(xy)$ の場合

まず、$x$ で偏微分します。

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt{1 - (xy)^2}} \cdot y = \frac{y}{\sqrt{1 - x^2y^2}}$

次に、$z_x$ を $y$ で偏微分します。

$z_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{\sqrt{1 - x^2y^2}}\right)$

$z_{xy} = \frac{\sqrt{1-x^2y^2} - y\cdot \frac{1}{2}(1-x^2y^2)^{-1/2}(-2x^2y)}{1-x^2y^2} = \frac{\sqrt{1-x^2y^2} + \frac{x^2y^2}{\sqrt{1-x^2y^2}}}{1-x^2y^2} = \frac{1-x^2y^2+x^2y^2}{(1-x^2y^2)^{3/2}} = \frac{1}{(1-x^2y^2)^{3/2}}$

次に、$z$ を $y$ で偏微分します。

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{\sqrt{1 - (xy)^2}} \cdot x = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2y^2}}$

次に、$z_y$ を $x$ で偏微分します。

$z_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2y^2}}\right)$

$z_{yx} = \frac{\sqrt{1-x^2y^2} - x\cdot \frac{1}{2}(1-x^2y^2)^{-1/2}(-2xy^2)}{1-x^2y^2} = \frac{\sqrt{1-x^2y^2} + \frac{x^2y^2}{\sqrt{1-x^2y^2}}}{1-x^2y^2} = \frac{1-x^2y^2+x^2y^2}{(1-x^2y^2)^{3/2}} = \frac{1}{(1-x^2y^2)^{3/2}}$

$z_{xy} = \frac{1}{(1-x^2y^2)^{3/2}}$

$z_{yx} = \frac{1}{(1-x^2y^2)^{3/2}}$

よって、$z_{xy} = z_{yx}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(2) $z = e^{xy}$ のとき、$z_{xy} = z_{yx} = (1 + xy) e^{xy}$

(5) $z = \sin^{-1}(xy)$ のとき、$z_{xy} = z_{yx} = \frac{1}{(1-x^2y^2)^{3/2}}$