パラメータ表示された曲線 $x = \cos \theta (1 + \cos \theta)$, $y = \sin \theta (1 - \cos \theta)$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$) について、積分 $\int_0^2 y \, dx$ を計算せよ。

1. 問題の内容

パラメータ表示された曲線 $x = \cos \theta (1 + \cos \theta)$, $y = \sin \theta (1 - \cos \theta)$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$) について、積分 $\int_0^2 y \, dx$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、$dx$ を $\theta$ で表す。$x = \cos \theta (1 + \cos \theta) = \cos \theta + \cos^2 \theta$ より、

$$\frac{dx}{d\theta} = -\sin \theta - 2 \cos \theta \sin \theta = -\sin \theta - \sin 2\theta$$

したがって、$dx = (-\sin \theta - \sin 2\theta) d\theta$ となる。

積分範囲を $\theta$ の範囲に変換する。$x = 0$ のとき $\cos \theta (1 + \cos \theta) = 0$ であり、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より $\cos \theta = 0$ となるので $\theta = \frac{\pi}{2}$。$x = 2$ のとき $\cos \theta (1 + \cos \theta) = 2$ であるが、$\theta = 0$ のとき $x = 1(1+1) = 2$ となるので、$\theta = 0$。よって、積分範囲は $\theta = \frac{\pi}{2}$ から $\theta = 0$ となる。

したがって、求める積分は

\begin{align*}

\int_0^2 y \, dx &= \int_{\frac{\pi}{2}}^0 \sin \theta (1 - \cos \theta) (-\sin \theta - \sin 2\theta) \, d\theta \\

&= - \int_{\frac{\pi}{2}}^0 \sin \theta (1 - \cos \theta) (\sin \theta + 2 \sin \theta \cos \theta) \, d\theta \\

&= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta (1 - \cos \theta) (\sin \theta + 2 \sin \theta \cos \theta) \, d\theta \\

&= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 \theta (1 - \cos \theta) (1 + 2\cos \theta) \, d\theta \\

&= \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos^2 \theta) (1 - \cos \theta) (1 + 2\cos \theta) \, d\theta \\

&= \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos \theta) (1 + \cos \theta) (1 - \cos \theta) (1 + 2\cos \theta) \, d\theta \\

&= \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos \theta)^2 (1 + \cos \theta) (1 + 2\cos \theta) \, d\theta \\

&= \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - 2\cos \theta + \cos^2 \theta) (1 + 3\cos \theta + 2\cos^2 \theta) \, d\theta \\

&= \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + 3\cos \theta + 2\cos^2 \theta - 2\cos \theta - 6\cos^2 \theta - 4\cos^3 \theta + \cos^2 \theta + 3\cos^3 \theta + 2\cos^4 \theta) \, d\theta \\

&= \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos \theta - 3\cos^2 \theta - \cos^3 \theta + 2\cos^4 \theta) \, d\theta \\

\end{align*}

ここで、$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n \theta \, d\theta$ について、$n$ が偶数のとき $I_n = \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2}$、$n$ が奇数のとき $I_n = \frac{(n-1)!!}{n!!}$ を用いる。

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \, d\theta = \frac{\pi}{2}$$

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \, d\theta = [\sin \theta]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1$$

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \, d\theta = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$$

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 \theta \, d\theta = \frac{2}{3}$$

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 \theta \, d\theta = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$$

したがって、

\begin{align*}

\int_0^2 y \, dx &= \frac{\pi}{2} + 1 - 3\left(\frac{\pi}{4}\right) - \frac{2}{3} + 2\left(\frac{3\pi}{16}\right) \\

&= \frac{\pi}{2} + 1 - \frac{3\pi}{4} - \frac{2}{3} + \frac{3\pi}{8} \\

&= \left(\frac{4\pi}{8} - \frac{6\pi}{8} + \frac{3\pi}{8}\right) + \left(1 - \frac{2}{3}\right) \\

&= \frac{\pi}{8} + \frac{1}{3}

\end{align*}

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} + \frac{\pi}{8}$