定積分 $\int_{0}^{2} xe^{-x} dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2} xe^{-x} dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を用いて計算します。

部分積分の公式は次の通りです。

$\int u dv = uv - \int v du$

ここでは、$u = x$、$dv = e^{-x} dx$ とします。

すると、$du = dx$、$v = -e^{-x}$ となります。

部分積分の公式に当てはめると、

$\int_{0}^{2} xe^{-x} dx = \left[ -xe^{-x} \right]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} (-e^{-x}) dx$

$= \left[ -xe^{-x} \right]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} e^{-x} dx$

まず、$\left[ -xe^{-x} \right]_{0}^{2}$ を計算します。

$-2e^{-2} - (0) = -2e^{-2}$

次に、$\int_{0}^{2} e^{-x} dx$ を計算します。

$\int_{0}^{2} e^{-x} dx = \left[ -e^{-x} \right]_{0}^{2} = -e^{-2} - (-e^{0}) = -e^{-2} + 1 = 1 - e^{-2}$

したがって、

$\int_{0}^{2} xe^{-x} dx = -2e^{-2} + (1 - e^{-2}) = 1 - 3e^{-2} = 1 - \frac{3}{e^2}$

3. 最終的な答え

$1 - \frac{3}{e^2}$