媒介変数表示された曲線 $x = \cos\theta(1+\cos\theta)$, $y = \sin\theta(1-\cos\theta)$ (ただし、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$) で表される曲線について、$\int_0^2 y \, dx$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

媒介変数表示された曲線 $x = \cos\theta(1+\cos\theta)$, $y = \sin\theta(1-\cos\theta)$ (ただし、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$) で表される曲線について、$\int_0^2 y \, dx$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$dx$ を $d\theta$ で表します。

$x = \cos\theta(1+\cos\theta) = \cos\theta + \cos^2\theta$

$dx = \frac{dx}{d\theta}d\theta = (-\sin\theta - 2\cos\theta\sin\theta)d\theta = -\sin\theta(1+2\cos\theta)d\theta$

次に、$\theta$ の積分範囲を求めます。

$x=0$ のとき、$\cos\theta(1+\cos\theta) = 0$ となるので、$\cos\theta=0$ となり、$\theta = \frac{\pi}{2}$

$x=2$ のとき、$\cos\theta(1+\cos\theta) = 2$。これは $\cos^2\theta + \cos\theta -2 =0$　となるので、$(\cos\theta+2)(\cos\theta-1)=0$。$\cos\theta=-2$は不適なので、$\cos\theta = 1$ となり、$\theta=0$.

したがって、$\int_0^2 y \, dx = \int_{\pi/2}^0 y \frac{dx}{d\theta} d\theta$ となります。

$y = \sin\theta(1-\cos\theta)$なので、

$\int_{\pi/2}^0 \sin\theta(1-\cos\theta) (-\sin\theta(1+2\cos\theta))d\theta = \int_{\pi/2}^0 -\sin^2\theta(1-\cos\theta)(1+2\cos\theta)d\theta = \int_{\pi/2}^0 -\sin^2\theta(1+2\cos\theta-\cos\theta-2\cos^2\theta)d\theta = \int_{\pi/2}^0 -\sin^2\theta(1+\cos\theta-2\cos^2\theta)d\theta = \int_{\pi/2}^0 -(1-\cos^2\theta)(1+\cos\theta-2\cos^2\theta)d\theta = \int_{\pi/2}^0 -(1+\cos\theta-2\cos^2\theta-\cos^2\theta-\cos^3\theta+2\cos^4\theta)d\theta = \int_{\pi/2}^0 (-1-\cos\theta+3\cos^2\theta+\cos^3\theta-2\cos^4\theta)d\theta$

$= \int_0^{\pi/2} (1+\cos\theta-3\cos^2\theta-\cos^3\theta+2\cos^4\theta)d\theta$

ここで、$\int_0^{\pi/2} \cos^2\theta d\theta = \frac{\pi}{4}$, $\int_0^{\pi/2} \cos^3\theta d\theta = \frac{2}{3}$, $\int_0^{\pi/2} \cos^4\theta d\theta = \frac{3\pi}{16}$ を用います。

$\int_0^{\pi/2} 1 d\theta = \frac{\pi}{2}$

$\int_0^{\pi/2} \cos\theta d\theta = [\sin\theta]_0^{\pi/2} = 1$

$-3\int_0^{\pi/2} \cos^2\theta d\theta = -3(\frac{\pi}{4}) = -\frac{3\pi}{4}$

$-\int_0^{\pi/2} \cos^3\theta d\theta = -\frac{2}{3}$

$2\int_0^{\pi/2} \cos^4\theta d\theta = 2(\frac{3\pi}{16}) = \frac{3\pi}{8}$

したがって、

$\int_0^{\pi/2} (1+\cos\theta-3\cos^2\theta-\cos^3\theta+2\cos^4\theta)d\theta = \frac{\pi}{2} + 1 - \frac{3\pi}{4} - \frac{2}{3} + \frac{3\pi}{8} = \frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi}{8} + 1 - \frac{2}{3} = (\frac{4-6+3}{8})\pi + \frac{1}{3} = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} + \frac{\pi}{8}$