半径1の円Oの周上に中心角$\theta$ラジアンの弧ABを取り、弧ABを2等分する点をCとする。線分OCと弦ABの交点をDとする。次の極限を求めよ。 (1) $\lim_{\theta \to +0} \frac{\stackrel{\frown}{AB}}{AB}$ (2) $\lim_{\theta \to +0} \frac{CD}{AB^2}$

1. 問題の内容

半径1の円Oの周上に中心角$\theta$ラジアンの弧ABを取り、弧ABを2等分する点をCとする。線分OCと弦ABの交点をDとする。次の極限を求めよ。

(1) $\lim_{\theta \to +0} \frac{\stackrel{\frown}{AB}}{AB}$

(2) $\lim_{\theta \to +0} \frac{CD}{AB^2}$

2. 解き方の手順

(1)

弧ABの長さは$l = r\theta$であり、$r=1$なので$\stackrel{\frown}{AB} = \theta$となる。

弦ABの長さを求める。$\triangle OAB$は二等辺三角形であり、底角は$\frac{\pi - \theta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}$である。AからOBに下ろした垂線の足をEとすると、$\triangle OEA$において、$AE = \sin{(\frac{\theta}{2})}$である。よって、$AB = 2\sin{(\frac{\theta}{2})}$となる。

したがって、

$\lim_{\theta \to +0} \frac{\stackrel{\frown}{AB}}{AB} = \lim_{\theta \to +0} \frac{\theta}{2\sin{(\frac{\theta}{2})}} = \lim_{\theta \to +0} \frac{\frac{\theta}{2}}{\sin{(\frac{\theta}{2})}} = 1$

(2)

$AB = 2\sin{(\frac{\theta}{2})}$である。$AB^2 = 4\sin^2{(\frac{\theta}{2})}$となる。

$OD = OC \cos{(\frac{\theta}{2})} = \cos{(\frac{\theta}{2})}$である。

$CD = OC - OD = 1 - \cos{(\frac{\theta}{2})}$である。

したがって、

$\lim_{\theta \to +0} \frac{CD}{AB^2} = \lim_{\theta \to +0} \frac{1 - \cos{(\frac{\theta}{2})}}{4\sin^2{(\frac{\theta}{2})}}$

ここで、$1 - \cos{x} = 2\sin^2{(\frac{x}{2})}$より、

$\lim_{\theta \to +0} \frac{2\sin^2{(\frac{\theta}{4})}}{4\sin^2{(\frac{\theta}{2})}} = \lim_{\theta \to +0} \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^2{(\frac{\theta}{4})}}{\sin^2{(\frac{\theta}{2})}} = \lim_{\theta \to +0} \frac{1}{2} \cdot \frac{(\frac{\theta}{4})^2}{(\frac{\theta}{2})^2} = \lim_{\theta \to +0} \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\theta^2}{16}}{\frac{\theta^2}{4}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{16} = \frac{1}{8}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\frac{1}{8}$