与えられた極限を計算する問題です。具体的には、 $\lim_{x \to c} \frac{c^2 f(x) - x^2 f(c)}{x-c}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。具体的には、

$\lim_{x \to c} \frac{c^2 f(x) - x^2 f(c)}{x-c}$

を計算します。

2. 解き方の手順

この極限を計算するために、式を操作して微分係数の定義に近づけます。

まず、分子に $c^2 f(c) - c^2 f(c)$ を加えます（これは0なので、式全体の値は変わりません）。

$\lim_{x \to c} \frac{c^2 f(x) - x^2 f(c)}{x-c} = \lim_{x \to c} \frac{c^2 f(x) - c^2 f(c) + c^2 f(c) - x^2 f(c)}{x-c}$

次に、項を整理します。

$\lim_{x \to c} \frac{c^2 (f(x) - f(c)) - f(c)(x^2 - c^2)}{x-c}$

それぞれの項を $x-c$ で割ります。

$\lim_{x \to c} \left( c^2 \frac{f(x) - f(c)}{x-c} - f(c) \frac{x^2 - c^2}{x-c} \right)$

$x^2 - c^2 = (x-c)(x+c)$ であることを利用します。

$\lim_{x \to c} \left( c^2 \frac{f(x) - f(c)}{x-c} - f(c) (x+c) \right)$

極限を適用します。$\lim_{x \to c} \frac{f(x) - f(c)}{x-c} = f'(c)$ であり、$\lim_{x \to c} (x+c) = 2c$ です。

$c^2 f'(c) - f(c) (2c) = c^2 f'(c) - 2c f(c)$

3. 最終的な答え

最終的な答えは、

$c^2 f'(c) - 2c f(c)$

です。