関数 $f(x) = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1}$ の微分 $f'(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1}$ の微分 $f'(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

商の微分公式を用いる。商の微分公式は $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$ に対して、

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f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}

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である。

この問題の場合、$g(x) = \sqrt{x} + 2$、$h(x) = \sqrt{x} + 1$である。

まず、$g'(x)$と$h'(x)$を計算する。

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g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}

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h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}

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よって、

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f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(\sqrt{x} + 1) - (\sqrt{x} + 2)\frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x} + 1)^2}

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f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(\sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} + 1)^2}

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f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(-1)}{(\sqrt{x} + 1)^2}

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f'(x) = \frac{-1}{2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)^2}

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3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{-1}{2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)^2}$