曲線 $y = 2x^3 - 6x^2 + 12x + 2$ の接線で、直線 $6x - y + 3 = 0$ に平行なものを求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = 2x^3 - 6x^2 + 12x + 2$ の接線で、直線 $6x - y + 3 = 0$ に平行なものを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、直線 $6x - y + 3 = 0$ の傾きを求める。この式を $y$ について解くと $y = 6x + 3$ となり、傾きは6である。

次に、曲線 $y = 2x^3 - 6x^2 + 12x + 2$ の導関数を求める。導関数は接線の傾きを表す。

$y' = \frac{dy}{dx} = 6x^2 - 12x + 12$

接線が直線 $6x - y + 3 = 0$ と平行であるということは、接線の傾きが6であるということなので、 $y' = 6$ となる $x$ の値を求める。

$6x^2 - 12x + 12 = 6$

$6x^2 - 12x + 6 = 0$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x - 1)^2 = 0$

$x = 1$

$x = 1$ のときの $y$ の値を求める。

$y = 2(1)^3 - 6(1)^2 + 12(1) + 2 = 2 - 6 + 12 + 2 = 10$

接点の座標は $(1, 10)$ であり、接線の傾きは6であるから、接線の方程式は

$y - 10 = 6(x - 1)$

$y - 10 = 6x - 6$

$y = 6x + 4$

3. 最終的な答え

求める接線の方程式は $y = 6x + 4$ である。