定積分 $\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx$ を、置換積分を用いて計算する問題です。 $x = \sin \theta$ と置き、二倍角の公式 $\cos^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ を利用します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx$ を、置換積分を用いて計算する問題です。 $x = \sin \theta$ と置き、二倍角の公式 $\cos^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ を利用します。

2. 解き方の手順

ステップ1: 置換積分

$x = \sin \theta$ とおくと、$dx = \cos \theta d\theta$ となります。

また、$x$ が $0$ から $1$ まで変化するとき、$\theta$ は $0$ から $\frac{\pi}{2}$ まで変化します。

ステップ2: 式の変形

$\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2 \theta} = \sqrt{\cos^2 \theta} = \cos \theta$　(ただし、$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ の範囲では $\cos \theta \geq 0$ です)

ステップ3: 定積分の変換

$\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \cdot \cos \theta d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta d\theta$

ステップ4: 二倍角の公式の利用

$\cos^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ より、

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2\theta}{2} d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos 2\theta) d\theta$

ステップ5: 積分計算

$\frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos 2\theta) d\theta = \frac{1}{2} \left[ \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin \pi \right) - \left( 0 + \frac{1}{2} \sin 0 \right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{2} + 0 - 0 - 0 \right] = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$