全ての実数 $x > 0$ に対して、不等式 $\sqrt{x} + 2 \le k\sqrt{x+1}$ が成り立つような実数 $k$ の最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

全ての実数 $x > 0$ に対して、不等式 $\sqrt{x} + 2 \le k\sqrt{x+1}$ が成り立つような実数 $k$ の最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた不等式を $k$ について解きます。$x > 0$ より $\sqrt{x+1} > 0$ なので、不等式の両辺を $\sqrt{x+1}$ で割ることができます。

$k \ge \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x+1}}$

ここで、$f(x) = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x+1}}$ とおくと、求める $k$ の最小値は $f(x)$ の最大値となります。

$f(x)$ の最大値を求めるために、微分を用いて増減を調べます。

$f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\sqrt{x+1} - (\sqrt{x} + 2)\frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{x+1} = \frac{(x+1) - x(\sqrt{x}+2)}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}(x+1)} = \frac{x+1-(\sqrt{x}+2)\sqrt{x}}{2\sqrt{x}(x+1)\sqrt{x+1}} = \frac{1-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}(x+1)^{3/2}}$

$f'(x) = 0$ となるのは $1 - \sqrt{x} = 0$ のときなので、$x=1$ です。

$0 < x < 1$ のとき、$f'(x) > 0$ なので $f(x)$ は増加関数です。

$x > 1$ のとき、$f'(x) < 0$ なので $f(x)$ は減少関数です。

したがって、$f(x)$ は $x=1$ で最大値をとります。

$f(1) = \frac{\sqrt{1} + 2}{\sqrt{1+1}} = \frac{1+2}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

よって、$k \ge \frac{3\sqrt{2}}{2}$ となるので、$k$ の最小値は $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{3\sqrt{2}}{2}$