以下の定積分を求めます。 $\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$ $x = \sin{\theta}$とおいて置換積分を行い、二倍角の公式 $\cos^2{\theta} = (1+\cos{2\theta})/2$ を利用します。

1. 問題の内容

以下の定積分を求めます。

$\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$

$x = \sin{\theta}$とおいて置換積分を行い、二倍角の公式 $\cos^2{\theta} = (1+\cos{2\theta})/2$ を利用します。

2. 解き方の手順

(1) $x = \sin{\theta}$ と置換します。すると、$dx = \cos{\theta} d\theta$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。

$x = 0$ のとき、$\sin{\theta} = 0$ なので、$\theta = 0$ です。

$x = 1$ のとき、$\sin{\theta} = 1$ なので、$\theta = \frac{\pi}{2}$ です。

(2) 与えられた積分は以下のようになります。

$\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin^2{\theta}} \cos{\theta} d\theta$

(3) $\sqrt{1-\sin^2{\theta}} = \sqrt{\cos^2{\theta}} = |\cos{\theta}|$ です。$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ において、$\cos{\theta} \geq 0$ なので、

$\sqrt{1-\sin^2{\theta}} = \cos{\theta}$

よって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin^2{\theta}} \cos{\theta} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2{\theta} d\theta$

(4) 二倍角の公式 $\cos^2{\theta} = \frac{1+\cos{2\theta}}{2}$ を用いると、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2{\theta} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos{2\theta}}{2} d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos{2\theta}) d\theta$

(5) $\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos{2\theta}) d\theta = \frac{1}{2} [\theta + \frac{1}{2} \sin{2\theta}]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

(6) $\frac{1}{2} [\theta + \frac{1}{2} \sin{2\theta}]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} [(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin{\pi}) - (0 + \frac{1}{2} \sin{0})] = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} + 0 - 0 - 0) = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$