方程式 $\sin x - x \cos x = 0$ が、開区間 $(\pi, \frac{3}{2}\pi)$ に少なくとも一つの解を持つことを示す。

1. 問題の内容

方程式 $\sin x - x \cos x = 0$ が、開区間 $(\pi, \frac{3}{2}\pi)$ に少なくとも一つの解を持つことを示す。

2. 解き方の手順

中間値の定理を利用して示す。

まず、$f(x) = \sin x - x \cos x$ と定義する。$f(x)$ は $\mathbb{R}$ 上で連続である。

次に、開区間 $(\pi, \frac{3}{2}\pi)$ の端点における $f(x)$ の符号を調べる。

$f(\pi) = \sin \pi - \pi \cos \pi = 0 - \pi(-1) = \pi > 0$

$f(\frac{3}{2}\pi) = \sin (\frac{3}{2}\pi) - \frac{3}{2}\pi \cos (\frac{3}{2}\pi) = -1 - \frac{3}{2}\pi(0) = -1 < 0$

$f(\pi) > 0$ かつ $f(\frac{3}{2}\pi) < 0$ であるため、中間値の定理より、$\pi < c < \frac{3}{2}\pi$ を満たす $c$ が存在して、$f(c) = 0$ となる。

したがって、方程式 $\sin x - x \cos x = 0$ は、開区間 $(\pi, \frac{3}{2}\pi)$ に少なくとも一つの解を持つ。

3. 最終的な答え

方程式 $\sin x - x \cos x = 0$ は、開区間 $(\pi, \frac{3}{2}\pi)$ に少なくとも一つの解を持つ。 (証明終わり)