関数 $f(x)$ が $f(x) = \sin x + 3\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) \cos t \, dt$ を満たすとき、$f(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が $f(x) = \sin x + 3\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) \cos t \, dt$ を満たすとき、$f(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、定積分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) \cos t \, dt$ は定数であることに注目します。

この定数を $A$ とおくと、

$A = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) \cos t \, dt$

となります。

このとき、$f(x)$ は

$f(x) = \sin x + 3A$

と表せます。

次に、$f(t) = \sin t + 3A$ を $A$ の式に代入します。

$A = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin t + 3A) \cos t \, dt$

$A = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t \cos t \, dt + 3A \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos t \, dt$

ここで、$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t \cos t \, dt$ を計算します。

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t \cos t \, dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}\sin 2t \, dt = \frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}\cos 2t\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}(-1) + \frac{1}{2}(1)\right] = \frac{1}{2}$

また、$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos t \, dt$ を計算します。

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos t \, dt = [\sin t]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin \frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$

したがって、

$A = \frac{1}{2} + 3A$

$-2A = \frac{1}{2}$

$A = -\frac{1}{4}$

これを $f(x) = \sin x + 3A$ に代入すると、

$f(x) = \sin x + 3\left(-\frac{1}{4}\right)$

$f(x) = \sin x - \frac{3}{4}$

となります。

3. 最終的な答え

$f(x) = \sin x - \frac{3}{4}$