放物線 $C_1: y=x^2-4x+1$ と $C_2: y=x^2+2x-5$ が与えられています。 (1) $C_1$ と $C_2$ の交点の座標を求めます。 (2) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線 $l$ の方程式を求めます。 (3) $C_1$, $C_2$, および直線 $l$ で囲まれた部分の面積を求めます。

はい、承知いたしました。以下の形式で解答します。

1. 問題の内容

放物線 $C_1: y=x^2-4x+1$ と $C_2: y=x^2+2x-5$ が与えられています。

(1) $C_1$ と $C_2$ の交点の座標を求めます。

(2) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線 $l$ の方程式を求めます。

(3) $C_1$, $C_2$, および直線 $l$ で囲まれた部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 交点の座標を求める。

$C_1$ と $C_2$ の交点では、$y$ 座標が等しいので、

$x^2-4x+1 = x^2+2x-5$

$-4x+1 = 2x-5$

$6x = 6$

$x = 1$

$x=1$ を $C_1$ に代入すると、

$y = 1^2 - 4(1) + 1 = 1 - 4 + 1 = -2$

よって、交点の座標は $(1, -2)$。

(2) 直線 $l$ の方程式を求める。

直線 $l$ の方程式を $y = mx + n$ とおく。

$C_1$ と $l$ が接するとき、$x^2 - 4x + 1 = mx + n$

$x^2 - (4+m)x + (1-n) = 0$

判別式 $D = (4+m)^2 - 4(1-n) = 0$

$16 + 8m + m^2 - 4 + 4n = 0$

$m^2 + 8m + 4n + 12 = 0$ ...(i)

$C_2$ と $l$ が接するとき、$x^2 + 2x - 5 = mx + n$

$x^2 + (2-m)x - (5+n) = 0$

判別式 $D = (2-m)^2 + 4(5+n) = 0$

$4 - 4m + m^2 + 20 + 4n = 0$

$m^2 - 4m + 4n + 24 = 0$ ...(ii)

(ii) - (i) より、

$(m^2 - 4m + 4n + 24) - (m^2 + 8m + 4n + 12) = 0$

$-12m + 12 = 0$

$m = 1$

(i) に $m=1$ を代入すると、

$1 + 8 + 4n + 12 = 0$

$4n = -21$

$n = -\frac{21}{4}$

よって、直線 $l$ の方程式は $y = x - \frac{21}{4}$。

(3) 面積を求める。

$C_1: y=x^2-4x+1$, $C_2: y=x^2+2x-5$, $l: y=x-\frac{21}{4}$

$C_1$ と $l$ の接点を求める。

$x^2 - (4+1)x + (1+\frac{21}{4}) = 0$

$x^2 - 5x + \frac{25}{4} = 0$

$(x-\frac{5}{2})^2 = 0$

$x = \frac{5}{2}$

$C_2$ と $l$ の接点を求める。

$x^2 + (2-1)x - (5+\frac{21}{4}) = 0$

$x^2 + x - \frac{41}{4} = 0$

$x^2 + x - \frac{41}{4} = 0$

$4x^2 + 4x - 41 = 0$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot 4 \cdot 41}}{8} = \frac{-4 \pm \sqrt{672}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{42}}{2}$

上記計算に誤りがあり、$C_2$と$l$の接点を求めるのは $x^2 + x - (5+n) = 0$ から $x^2 + (2-m)x - (5+n) = 0$, つまり $x^2+(2-1)x - (5 - \frac{21}{4}) = 0$, なので$x^2 + x - \frac{1}{4} = 0$.

従って $(x + \frac{1}{2})^2=0$になり、$x=-\frac{1}{2}$となる。

$S = \int_{-1/2}^{5/2} |(x^2 - 4x + 1) - (x^2 + 2x - 5) |dx = |\int_{-1/2}^{5/2} (-6x+6)dx|=|\int_{-1/2}^{5/2} (-6x+6)dx|$

$S = |[-3x^2 + 6x]_{-1/2}^{5/2}| = |-3(25/4) + 6(5/2) - (-3(1/4) + 6(-1/2))| = |-75/4 + 15 + 3/4 + 3| = |-72/4 + 18| = |-18+18| = 0$.

ここで、二つの放物線の交点を求める際に、$x=1$と求めたので、この交点より左側では$C_2$が上にあり、右側では$C_1$が上にあることから、積分範囲を交点$x=1$を境に分割して符号を変える必要がある。

$S = \int_{-1/2}^{1} ((x^2 + 2x - 5) - (x-\frac{21}{4})) dx + \int_{1}^{5/2} ((x^2 - 4x + 1) - (x-\frac{21}{4})) dx$

$S = \int_{-1/2}^{1} (x^2 + x - 5+\frac{21}{4})dx + \int_{1}^{5/2} (x^2 - 5x + 1+\frac{21}{4}) dx = \int_{-1/2}^{1} (x^2 + x + \frac{1}{4})dx + \int_{1}^{5/2} (x^2 - 5x + \frac{25}{4}) dx$

$S= \int_{-1/2}^1 (x+\frac{1}{2})^2 dx + \int_1^{5/2} (x-\frac{5}{2})^2 dx = [\frac{1}{3}(x+\frac{1}{2})^3]_{-1/2}^1 + [\frac{1}{3}(x-\frac{5}{2})^3]_1^{5/2}= \frac{1}{3}(3/2)^3 + \frac{1}{3}(\frac{-3}{2})^3 (-1) = \frac{1}{3} (\frac{27}{8}) +\frac{1}{3} (\frac{27}{8}) = \frac{9}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 交点の座標: $(1, -2)$

(2) 直線 $l$ の方程式: $y = x - \frac{21}{4}$

(3) 面積: $\frac{9}{4}$