$0 \le x \le \pi$ の範囲において、次の関数の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めます。 (1) $y = \sin x + 1$ (2) $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{3}) - 1$

1. 問題の内容

$0 \le x \le \pi$ の範囲において、次の関数の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めます。

(1) $y = \sin x + 1$

(2) $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{3}) - 1$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin x + 1$

$0 \le x \le \pi$ の範囲において、$\sin x$ の値は $-1 \le \sin x \le 1$ を満たします。

$y = \sin x + 1$ であるため、$0 \le x \le \pi$ において、$\sin x$ の最大値は $1$ ($x = \frac{\pi}{2}$)、最小値は $0$ ($x = 0, \pi$) になります。

したがって、$y$ の最大値は $1 + 1 = 2$ ($x = \frac{\pi}{2}$)、最小値は $0 + 1 = 1$ ($x = 0, \pi$) です。

(2) $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{3}) - 1$

$0 \le x \le \pi$ より、$\frac{\pi}{3} \le x + \frac{\pi}{3} \le \frac{4\pi}{3}$ となります。

この範囲において、$\cos(x + \frac{\pi}{3})$ の値は $-1 \le \cos(x + \frac{\pi}{3}) \le 1$ を満たします。

最大値は $\cos(x + \frac{\pi}{3}) = 1$ のとき、$x + \frac{\pi}{3} = 0, 2\pi$ などですが、$\frac{\pi}{3} \le x + \frac{\pi}{3} \le \frac{4\pi}{3}$ の範囲では $x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$ の時で $x = 0$ です。この時 $\cos(x + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ となる。

最小値は $\cos(x + \frac{\pi}{3}) = -1$ のとき、$x + \frac{\pi}{3} = \pi$ の時で $x = \frac{2\pi}{3}$ となる。

この時 $\cos(x + \frac{\pi}{3}) = -1$ となる。

最大値は $x = 0$ のとき、$y = 2\cos(\frac{\pi}{3}) - 1 = 2 * \frac{1}{2} - 1 = 0$ です。

$\frac{\pi}{3} \le x + \frac{\pi}{3} \le \frac{4\pi}{3}$より、$\cos(x + \frac{\pi}{3})$ の最大値は$\frac{1}{2}$なので、$y$の最大値は$2 * \frac{1}{2} -1= 0 (x = 0)$です。

最小値は $x = \frac{2\pi}{3}$ のとき、$y = 2\cos(\pi) - 1 = 2 * (-1) - 1 = -3$ です。

3. 最終的な答え

(1)

最大値: $2$ ($x = \frac{\pi}{2}$)

最小値: $1$ ($x = 0, \pi$)

(2)

最大値: $0$ ($x = 0$)

最小値: $-3$ ($x = \frac{2\pi}{3}$)