はい、承知いたしました。問題を一つずつ解いていきます。

はい、承知いたしました。問題を一つずつ解いていきます。

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1. 問題の内容**

問題22.2は、与えられた曲線をxy平面上に図示し、指定された条件（x軸、y軸との囲まれた部分）で囲まれた部分の面積を求める問題です。

(1) 曲線 $y = -2x^2 + 4x$ と x軸によって囲まれる部分の面積を求めます。

(2) 曲線 $y = x^2 - 2x - 3$ と x軸によって囲まれる部分の面積を求めます。

(3) 曲線 $y = -x^2 - x + 6$ ($x \geq 0$) と x軸、および y軸によって囲まれる部分の面積を求めます。

(4) 曲線 $y = x^2 - 4x + 4$ と x軸、および y軸によって囲まれる部分の面積を求めます。

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2. 解き方の手順**

各問題について、以下の手順で解いていきます。

1. 曲線とx軸（またはx軸とy軸）との交点を求めます。これは、方程式を解くことで求められます。

2. 囲まれた部分の面積を求めるために定積分を行います。x軸より下の部分は符号が負になるため、絶対値を取るか、積分区間を分けて計算する必要があります。

(1) $y = -2x^2 + 4x$

* x軸との交点を求める: $-2x^2 + 4x = 0$ を解きます。

$-2x(x - 2) = 0$ より、$x = 0, 2$

* 面積を求める:

$S = \int_{0}^{2} (-2x^2 + 4x) dx = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 2x^2 \right]_{0}^{2} = -\frac{16}{3} + 8 = \frac{8}{3}$

(2) $y = x^2 - 2x - 3$

* x軸との交点を求める: $x^2 - 2x - 3 = 0$ を解きます。

$(x - 3)(x + 1) = 0$ より、$x = -1, 3$

* 面積を求める: $x^2 - 2x - 3$はx軸の下にあるので、絶対値を付けて積分します。

$S = -\int_{-1}^{3} (x^2 - 2x - 3) dx = -\left[ \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x \right]_{-1}^{3} = -\left[ (9 - 9 - 9) - (-\frac{1}{3} - 1 + 3) \right] = -(-9 - \frac{5}{3}) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{32}{3}$

(3) $y = -x^2 - x + 6$ ($x \geq 0$)

* x軸との交点を求める: $-x^2 - x + 6 = 0$ を解きます。

$x^2 + x - 6 = 0$

$(x + 3)(x - 2) = 0$ より、$x = -3, 2$。$x \geq 0$ なので、$x = 2$

* y軸との交点を求める: $x = 0$ のとき、$y = 6$

* 面積を求める:

$S = \int_{0}^{2} (-x^2 - x + 6) dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 6x \right]_{0}^{2} = -\frac{8}{3} - 2 + 12 = 10 - \frac{8}{3} = \frac{22}{3}$

(4) $y = x^2 - 4x + 4$

* x軸との交点を求める: $x^2 - 4x + 4 = 0$ を解きます。

$(x - 2)^2 = 0$ より、$x = 2$

* y軸との交点を求める: $x = 0$ のとき、$y = 4$

* 面積を求める: 曲線はx軸に接するため、0から2まで積分します。

$S = \int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 4) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x \right]_{0}^{2} = \frac{8}{3} - 8 + 8 = \frac{8}{3}$

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3. 最終的な答え**

(1) $\frac{8}{3}$

(2) $\frac{32}{3}$

(3) $\frac{22}{3}$

(4) $\frac{8}{3}$