与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{x \to c} \frac{c^2 f(x) - x^2 f(c)}{x-c} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

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\lim_{x \to c} \frac{c^2 f(x) - x^2 f(c)}{x-c}

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2. 解き方の手順

まず、分子を変形して、極限の計算がしやすい形にします。

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\begin{aligned}

c^2 f(x) - x^2 f(c) &= c^2 f(x) - c^2 f(c) + c^2 f(c) - x^2 f(c) \\

&= c^2 (f(x) - f(c)) - f(c) (x^2 - c^2) \\

&= c^2 (f(x) - f(c)) - f(c) (x - c) (x + c)

\end{aligned}

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よって、与えられた極限は次のようになります。

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\lim_{x \to c} \frac{c^2 (f(x) - f(c)) - f(c) (x - c) (x + c)}{x - c}

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これをさらに変形すると、

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\lim_{x \to c} \left[ c^2 \frac{f(x) - f(c)}{x - c} - f(c) (x + c) \right]

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ここで、$x \to c$ のとき、$\frac{f(x) - f(c)}{x - c} \to f'(c)$ となり、$x + c \to 2c$ となることを利用します。したがって、

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\lim_{x \to c} \left[ c^2 \frac{f(x) - f(c)}{x - c} - f(c) (x + c) \right] = c^2 f'(c) - f(c) (2c) = c^2 f'(c) - 2c f(c)

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3. 最終的な答え

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c^2 f'(c) - 2c f(c)

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