はい、承知いたしました。問題に一つずつ取り組み、不定積分を求めます。積分定数は $C$ とします。

はい、承知いたしました。問題に一つずつ取り組み、不定積分を求めます。積分定数は $C$ とします。

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1. 問題の内容**

与えられた15個の関数について、不定積分を求める問題です。

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2. 解き方の手順**

(1) $3x^2 + 2x + 1$

多項式の積分は、各項を個別に積分します。

$\int (3x^2 + 2x + 1) \, dx = x^3 + x^2 + x + C$

(2) $\sin(2x + 1)$

置換積分を行います。$u = 2x + 1$ とすると、$du = 2 \, dx$ より、$dx = \frac{1}{2} \, du$

$\int \sin(2x + 1) \, dx = \int \sin(u) \cdot \frac{1}{2} \, du = -\frac{1}{2} \cos(u) + C = -\frac{1}{2} \cos(2x + 1) + C$

(3) $\frac{2}{\sqrt{4 - x^2}}$

$\int \frac{2}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx = 2 \int \frac{1}{\sqrt{2^2 - x^2}} \, dx = 2 \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + C$

(4) $\frac{2x}{x^2 + 3}$

置換積分を行います。$u = x^2 + 3$ とすると、$du = 2x \, dx$

$\int \frac{2x}{x^2 + 3} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C = \ln(x^2 + 3) + C$

(5) $\frac{1}{\tan x}$

$\frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}$ なので、

置換積分を行います。$u = \sin x$ とすると、$du = \cos x \, dx$

$\int \frac{\cos x}{\sin x} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C = \ln|\sin x| + C$

(6) $\frac{2x + 2}{x^2 + x + 1}$

$u = x^2+x+1$とおくと$du = (2x+1)dx$

$\int \frac{2x + 2}{x^2 + x + 1} dx = \int \frac{2x+1+1}{x^2+x+1}dx = \int \frac{2x+1}{x^2+x+1}dx + \int\frac{1}{x^2+x+1}dx$

$\int \frac{2x+1}{x^2+x+1}dx = ln(x^2+x+1)+C$

$\int\frac{1}{x^2+x+1}dx = \int\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}}dx$

$x+\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}tan\theta$とおくと$dx = \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{cos^2\theta}d\theta$

$\int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}}dx = \int \frac{1}{\frac{3}{4}(tan^2\theta + 1)}*\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{cos^2\theta}d\theta = \frac{2}{\sqrt{3}}\theta = \frac{2}{\sqrt{3}}arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})+C$

$\int \frac{2x + 2}{x^2 + x + 1} dx = ln(x^2+x+1) + \frac{2}{\sqrt{3}}arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})+C$

(7) $2x(x^2 + 1)^3$

置換積分を行います。$u = x^2 + 1$ とすると、$du = 2x \, dx$

$\int 2x(x^2 + 1)^3 \, dx = \int u^3 \, du = \frac{1}{4}u^4 + C = \frac{1}{4}(x^2 + 1)^4 + C$

(8) $2^{5x} \log 2$

置換積分を行います。$u = 5x$ とすると、$du = 5 \, dx$ より、$dx = \frac{1}{5} \, du$

$\int 2^{5x} \log 2 \, dx = \int 2^u \log 2 \cdot \frac{1}{5} \, du = \frac{\log 2}{5} \int 2^u \, du = \frac{\log 2}{5} \cdot \frac{2^u}{\log 2} + C = \frac{1}{5}2^{5x} + C$

(9) $-\frac{\sin x}{\cos^3 x}$

置換積分を行います。$u = \cos x$ とすると、$du = -\sin x \, dx$

$\int -\frac{\sin x}{\cos^3 x} \, dx = \int \frac{1}{u^3} \, du = \int u^{-3} \, du = -\frac{1}{2}u^{-2} + C = -\frac{1}{2\cos^2 x} + C = \frac{1}{2\cos^2 x} + C$

(10) $x\sqrt{x + 1}$

置換積分を行います。$u = x + 1$ とすると、$x = u - 1$、$du = dx$

$\int x\sqrt{x + 1} \, dx = \int (u - 1)\sqrt{u} \, du = \int (u^{3/2} - u^{1/2}) \, du = \frac{2}{5}u^{5/2} - \frac{2}{3}u^{3/2} + C = \frac{2}{5}(x + 1)^{5/2} - \frac{2}{3}(x + 1)^{3/2} + C$

(11) $\frac{1}{e^x + e^{-x}}$

$\int \frac{1}{e^x + e^{-x}} dx = \int \frac{1}{e^x + \frac{1}{e^x}} dx = \int \frac{e^x}{e^{2x} + 1} dx$

$u = e^x$とすると$du = e^x dx$

$\int \frac{e^x}{e^{2x} + 1} dx = \int \frac{1}{u^2 + 1} du = arctan(u)+C = arctan(e^x)+C$

(12) $\sqrt{e^x + 1}$

$u=e^x+1$とすると$e^x = u-1$, $dx=\frac{1}{e^x}du = \frac{1}{u-1}du$

$\int \sqrt{e^x + 1} dx = \int \frac{\sqrt{u}}{u-1} du$

$t = \sqrt{u}$, $u = t^2$, $du = 2t dt$と置換すると

$\int \frac{\sqrt{u}}{u-1} du = \int \frac{t}{t^2-1}2t dt = \int \frac{2t^2}{t^2-1}dt = \int \frac{2(t^2-1)+2}{t^2-1}dt = 2\int 1+\frac{1}{t^2-1}dt$

$\int \frac{1}{t^2-1}dt = \frac{1}{2}ln|\frac{t-1}{t+1}|+C$

$2\int 1+\frac{1}{t^2-1}dt = 2(t + \frac{1}{2}ln|\frac{t-1}{t+1}|)+C= 2(\sqrt{e^x+1}+\frac{1}{2}ln|\frac{\sqrt{e^x+1}-1}{\sqrt{e^x+1}+1}|) + C = 2\sqrt{e^x+1} + ln|\frac{\sqrt{e^x+1}-1}{\sqrt{e^x+1}+1}| + C$

(13) $xe^x$

部分積分を行います。$u = x$, $dv = e^x \, dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$

$\int xe^x \, dx = xe^x - \int e^x \, dx = xe^x - e^x + C = (x - 1)e^x + C$

(14) $\log x$

部分積分を行います。$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = x$

$\int \log x \, dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \log x - \int 1 \, dx = x \log x - x + C$

(15) $e^x \sin x$

部分積分を2回行います。

$\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx$

$\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x - \int e^x (-\sin x) \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx$

$\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - (e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx)$

$2\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - e^x \cos x$

$\int e^x \sin x \, dx = \frac{1}{2}e^x (\sin x - \cos x) + C$

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3. 最終的な答え**

(1) $x^3 + x^2 + x + C$

(2) $-\frac{1}{2} \cos(2x + 1) + C$

(3) $2 \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + C$

(4) $\ln(x^2 + 3) + C$

(5) $\ln|\sin x| + C$

(6) $ln(x^2+x+1) + \frac{2}{\sqrt{3}}arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})+C$

(7) $\frac{1}{4}(x^2 + 1)^4 + C$

(8) $\frac{1}{5}2^{5x} + C$

(9) $\frac{1}{2\cos^2 x} + C$

(10) $\frac{2}{5}(x + 1)^{5/2} - \frac{2}{3}(x + 1)^{3/2} + C$

(11) $arctan(e^x)+C$

(12) $2\sqrt{e^x+1} + ln|\frac{\sqrt{e^x+1}-1}{\sqrt{e^x+1}+1}| + C$

(13) $(x - 1)e^x + C$

(14) $x \log x - x + C$

(15) $\frac{1}{2}e^x (\sin x - \cos x) + C$