三角関数の倍角の値を求める問題です。具体的には、 (1) $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ のときの $\cos 2\alpha$ の値を求める。 (2) $\cos \alpha = \frac{7}{8}$ のときの $\cos 2\alpha$ の値を求める。 (3) $\tan \alpha = 3$ のときの $\tan 2\alpha$ の値を求める。

1. 問題の内容

三角関数の倍角の値を求める問題です。具体的には、

(1) $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ のときの $\cos 2\alpha$ の値を求める。

(2) $\cos \alpha = \frac{7}{8}$ のときの $\cos 2\alpha$ の値を求める。

(3) $\tan \alpha = 3$ のときの $\tan 2\alpha$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\cos 2\alpha$ の公式 $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$ を使います。

$\sin \alpha = \frac{1}{3}$ を代入して計算します。

(2) $\cos 2\alpha$ の公式 $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$ を使います。

$\cos \alpha = \frac{7}{8}$ を代入して計算します。

(3) $\tan 2\alpha$ の公式 $\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$ を使います。

$\tan \alpha = 3$ を代入して計算します。

(1)

$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha = 1 - 2 \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{1}{9} = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$

(2)

$\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 2 \left(\frac{7}{8}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{49}{64} - 1 = \frac{49}{32} - 1 = \frac{49 - 32}{32} = \frac{17}{32}$

(3)

$\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} = \frac{2 \cdot 3}{1 - 3^2} = \frac{6}{1 - 9} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos 2\alpha = \frac{7}{9}$

(2) $\cos 2\alpha = \frac{17}{32}$

(3) $\tan 2\alpha = -\frac{3}{4}$