関数 $f(x, y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$ が与えられています。 (1) 関数 $z = f(x, y)$ の全微分 $dz$ を求めます。 (2) $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ ($r \geq 0$) としたとき、全微分 $dz$ を $r$, $\theta$, $dr$, $d\theta$ で表します。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$ が与えられています。

(1) 関数 $z = f(x, y)$ の全微分 $dz$ を求めます。

(2) $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ ($r \geq 0$) としたとき、全微分 $dz$ を $r$, $\theta$, $dr$, $d\theta$ で表します。

2. 解き方の手順

(1) 全微分の公式は次の通りです。

$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$

まず、偏微分 $\frac{\partial z}{\partial x}$ と $\frac{\partial z}{\partial y}$ を計算します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \sqrt{1 - x^2 - y^2} = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2 - y^2}} (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \sqrt{1 - x^2 - y^2} = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2 - y^2}} (-2y) = \frac{-y}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}$

したがって、全微分 $dz$ は次のようになります。

$dz = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} dx + \frac{-y}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} dy = \frac{-x dx - y dy}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}$

(2) $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ のとき、全微分 $dx$ と $dy$ は次のようになります。

$dx = \frac{\partial x}{\partial r} dr + \frac{\partial x}{\partial \theta} d\theta = \cos\theta dr - r\sin\theta d\theta$

$dy = \frac{\partial y}{\partial r} dr + \frac{\partial y}{\partial \theta} d\theta = \sin\theta dr + r\cos\theta d\theta$

これらを(1)で求めた$dz$の式に代入します。

$dz = \frac{-x dx - y dy}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} = \frac{-(r\cos\theta)(\cos\theta dr - r\sin\theta d\theta) - (r\sin\theta)(\sin\theta dr + r\cos\theta d\theta)}{\sqrt{1 - (r\cos\theta)^2 - (r\sin\theta)^2}}$

$dz = \frac{-r\cos^2\theta dr + r^2\cos\theta\sin\theta d\theta - r\sin^2\theta dr - r^2\sin\theta\cos\theta d\theta}{\sqrt{1 - r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)}} = \frac{-r(\cos^2\theta + \sin^2\theta) dr + r^2(\cos\theta\sin\theta - \sin\theta\cos\theta) d\theta}{\sqrt{1 - r^2}}$

$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ および $\cos\theta\sin\theta - \sin\theta\cos\theta = 0$ なので、

$dz = \frac{-r dr}{\sqrt{1 - r^2}}$

3. 最終的な答え

(1) $dz = \frac{-x dx - y dy}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}$

(2) $dz = \frac{-r dr}{\sqrt{1 - r^2}}$